Cómo entender el álgebra: 3 pasos (con fotos) – wikiHow


Consejos para entender el Álgebra.

La primera vez que encuentras una idea en álgebra, puede que no conozcas el significado de cada palabra, su propósito o porque funciona. Esto es lo que tienes que hacer: Primero, trata de entenderlo. Luego, si no entiendes después de 10 minutos de esforzarte, ¡pregúntale a alguien! Pregunta a tu maestro, a un amigo, a un tutor – pero llena los agujeros en tu aprendizaje lo más pronto posible. Todo en matemáticas se construye de cosas previas, por lo que puedes sentirte confuso y desanimado hasta que las comprendas. El entender puede sustituir la práctica. La práctica hace que los patrones se fijen en tu cerebro para que puedas identificar buenas maneras de abordaje para resolver los problemas de álgebra rápidamente. El entender hace que la práctica sea efectiva.Todas esas tareas que te asignan, donde tienes que resolver muchos problemas de álgebra, son intentos para que pruebes y refines tu conocimiento. (¡Qué lástima que nunca te digan eso!) Si haces la tarea con la idea de que estás probando tu comprensión para comprobar que es correcta, la tarea se fija realmente en tu cerebro para que te vaya bien en los exámenes – ¡sin sufrimiento!

Origen: Cómo entender el álgebra: 3 pasos (con fotos) – wikiHow

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Racionalización del denominador binomio de una fracción.


Racionalizar el denominador binomio de una fracción.

Para transformar el denominador de una fracción de la forma   :

1) Se determina el factor, el cual será el conjugado del denominador, o sea:

Si el denominador es a+b, entonces el conjugado es a-b.

Si el denominador es a-b, entonces el conjugado es a+b.

2) Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador:

El producto de binomios conjugados será siempre una una diferencia de cuadrados:

3) El producto de la multiplicación se simplifica hasta llegar a la mínima expresión.

En estas operaciones se necesario aplicar  Los Teoremas de los Radicales  y la Ley de de los Exponentes.


Ejemplos:

a) Racionaliza el denominador de  

Determinando el conjugado del denominador:

El conjugado de    es  

Multiplicando la fracción por el conjugado del denominador:

Simplificando el producto:

   Solución.

b)  Racionaliza el denominador de la expresión  

Determinando el conjugado del denominador:

El conjugado de   es  

Multiplicando la fracción por el conjugado del denominador:  

Simplificando el resultado:

    Solución.


Ejercicio 108 del Libro.

Racionaliza el denominador en las siguientes expresiones:

11)  

Determinando el conjugado del denominador:

El conjugado es   

Multiplicando la fracción por el conjugado:

Simplificando el resultado:

  Solución.


12)  

Determinando el conjugado del denominador:

El conjugado es   

Multiplicando la fracción por el conjugado:

Simplificando el resultado:

   Solución.


13)  

Determinando el conjugado del denominador:

El conjugado de    es  = 

Multiplicando la fracción por el conjugado:

 

Simplificando el resultado:

   Solución.


Racionalización del denominador monomio de una fracción.


Racionalizar el denominador de una fracción es transformar el denominador en una cantidad racional.

A. Racionalizar el denominador monomio de una fracción.

Para transformar el denominador de una fracción de la forma    donde m < n :

1) Se determina el factor que multiplicará la fracción, elevando la cantidad subradical a la diferencia del índice del radical menos el exponente de la cantidad  .

2) Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el mismo factor   .

3) El producto de la multiplicación se simplifica hasta llegar a la mínima expresión.

En estas operaciones se necesario aplicar  Los Teoremas de los Radicales  y la Ley de de los Exponentes.


Ejemplos:

A. Racionalizar el denominador monomio de una fracción:

a) Racionaliza el denominador de   

 Determinando el factor para multiplicar la fracción:

Multiplicando el factor de racionalización por la fracción:

Simplificando el producto:

   Solución.

b) Racionaliza el denominador de  

Determinando el factor para multiplicar la fracción:

Multiplicando el factor de racionalización:

Simplificando el producto:

   Solución.

c)  Racionaliza el denominador de la expresión  

En este caso se aplica el teorema para el cociente de una raíz:

Luego se siguen los pasos explicados en los ejemplos anteriores.


Ejercicio 108 del Libro.

Racionaliza el denominador de las siguientes expresiones:

1)  

Determinando el factor para multiplicar la fracción:

Multiplicando el factor de racionalización y simplificando:

   Solución.


2) 

Determinando el factor para multiplicar la fracción:

Multiplicando el factor de racionalización y simplificando:

  Solución.


5) 

Determinando el factor para multiplicar la fracción:

Multiplicando el factor de racionalización y simplificando:

Solución.


Binomio de Newton. (con exponentes fraccionarios y/o negativos)


El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes fraccionarios y/o negativos,   y   cumple con lo siguiente:

La Fórmula es la misma que se aplica de la misma manera que para los enteros positivos:

Fórmula:  

_______________________________________________________

El desarrollo de los binomios fraccionarios y negativos, cumple con lo siguiente:

a)  El primer término es   o  , y no tienen último término.

b) El número de términos es infinito.

c) El desarrollo de estos binomios recibe el nombre de Serie.

_______________________________________________________

Ejemplos:

a) Desarrolla    hasta 5 términos:

» Cambiando los exponentes negativos a positivos:

   Solución.

________________________________________________________

b) Desarrollar    , hasta 5 términos:

» 

»    Solución.

________________________________________________________

Ejercicio 95 del Libro.

Desarrollar los siguientes binomios, hasta 5 términos:

13)  

 …  Solución.

________________________________________________________

14)  

…    Solución.

______________________________________________________

Binomio de Newton. (Con exponentes enteros y positivos)


Es la manera de resolver un binomio elevado a un exponente por medio del Teorema del Binomio de Newton.

Fórmula:  

__________________________________________________

r! : se lee “r factorial”, y es igual a “r” multiplicado por cada uno de los valores anteriores, hasta el valor 1.  Y donde “r” es un valor cualquiera que esté afectado por el factorial (!).

O sea;  r!= r.(r-1)(r-2)(r-3)…1

Ejemplo: 5! = 5 (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)= 120.

_________________________________________________

El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes enteros y positivos,cumple con lo siguiente:

a) El primer término es , y el último término es

b) El número de término del desarrollo del teorema será (n+1)

c) A partir del 2º término del desarrollo, la potencia de “a” disminuye en 1, (n-1) y la potencia de “b” aumenta en 1, (b^1)

___________________________________________________

Ejemplos:

a) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = x    ;     = 2y    ;    n = 4

» Aplicando la fórmula :

    Solución.

______________________________________________________

b) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = 2x²    ;     = -3y²    ;    n = 5

» Aplicando la fórmula :

» 

» 

» 

»    Solución.

________________________________________________

Ejercicio 95 del Libro.

Desarrolla los siguientes binomios:

1)

» 

» 

   Solución

___________________________________________________

2)  

»  

» 

» 

»    Solución.

____________________________________________________

 

Simplificación de Potencias.


El orden de la simplificación estará determinado por las operaciones indicadas, así como por los signos de agrupación que la expresión contenga.

Estos ejercicios se resuelven aplicando los Teoremas de los Exponentes, vistos en el Ejercicio 93.

Procedimiento:

1) Determinar que operaciones están indicadas y que signos de agrupación contiene la expresión, para realizar las operaciones según el orden de operación correspondiente.

2) Aplicar el Teorema de los Exponentes que corresponda.

3) Simplificar los resultados hasta llegar a la solución.

___________________________________________________

Ejemplos:

a)  Simplifica la expresión (x²y-²)-³  y da el resultado con exponentes positivos:

» Aplicando el Teorema    ;

» Aplicando el teorema   para cambiar el signo negativo de :

» Multiplicando para simplificar:

   Solución.

_____________________________________________

b) Simplifica la siguiente expresión y elimina los exponentes negativos:

» Multiplicando las potencias de igual base del numerador, aplicando el teorema  :

» Dividiendo potencia de igual base, aplicando el teorema  

» Eliminado el exponente negativo, aplicando el teorema  

   Solución.

_____________________________________________

c)  Simplifica la siguiente expresión  

» Dividiendo los términos semejantes, aplicando el teorema  :

»  Elevando las potencias a otra potencia, aplicando el teorema 

»  Eliminando los exponentes negativos, aplicando el teorema 

     Solución.

________________________________________________

Ejercicio 94 del Libro.

Aplique los teoremas de los exponentes y simplifique las siguientes expresiones:

1)  

   Solución.

_______________________________________________

2)   

(-6/4=-3/2)

   Solución.

_______________________________________________

3)  

    Solución.

_______________________________________________

4)  

=

   Solución.

______________________________________________

5)  

   Solución.

______________________________________________

 

Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o más casos de factorización.


Existen polinomios que se deben factorizar dos o más veces con diferentes casos de factorización para llegar a una solución final.

_________________________________________________

Ejemplos:

a) Factorizar 2x³ +6x² -8x

–> Aplicando el Factor común:

= 2x(x² +3x -4)

–> Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 2x(x+4)(x-1)   Solución.

_________________________________________

b) Factorizar  

–> Aplicando el Factor común:

–> Aplicando Diferencia de Cuadrados a   :

= 3(m² – 9)(m² + 9)

= Aplicando Diferencia de Cuadrados a  m² – 9:

= 3(m -3)(m + 3)(m² + 9)   Solución.

_________________________________________

Ejercicio 50 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1)  x³ -3x² -28x

Aplicando el Factor común:

= x(x² -3x -28)

Aplicando Trinomio de la forma x² +bx +c:

= x(x -7)(x +4)   Solución.

________________________________________________

3)  3a² -3a -6

Aplicando el Factor común:

= 3(a² -a -3)

Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 3(a -2)(a +1)   Solución.

________________________________________________

5)  m³ -m² -m +1

Aplicando el Factor común por Agrupación de Términos:

= (m³ – m²) – (m -1)

Factorizando los binomios:

m²(m-1) – 1(m -1)

= (m -1)(m² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados a  m² -1:

=  (m -1)(m -1)(m +1)

= (m -1)²(m +1)  Solución.

_________________________________________________

8)  8ax² -2a

Aplicando el Factor Común:

= 2a(4x² – 1)

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  4x² – 1:

= 2a(2x -1)(2x +1)   Solución.

__________________________________________________

9)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando el Trinomio de la forma x +bx +c:

= a(a² +2)(a² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados

= a(a² +2)(a -1)(a +1)   Solución.

___________________________________________________

13)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

   Solución.

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