Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos Variables por el Método de Sustitución.


Este método consiste en despejar una de las dos variables de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituir el valor de la variable despejada en la otra ecuación original. Con esto se encontrará el valor de una de las variables y luego este valor de la variable se sustituye en la ecuación despejada para encontrar el valor de la otra variable.

Procedimiento:

1) Despejar una de las variables de una de las dos ecuaciones.

2) Se sustituye el valor de la variable despejada en la otra ecuación, para encontrar el valor de una de las variables.

3) Se sustituye el valor de la variable encontrada para encontrar el valor de la otra variable.

4) Por tanto el conjunto solución será el valor de las dos variables.

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Ejemplos:

a) Determina el valor de “x” y “y” en el sistema:

3x -4y = -11    y    5x +3y = 1

> Despejando x  en cualquiera de las dos ecuaciones; en este caso en la 1ª ecuación:

3x -4y = -11

x = -11 +4y /3   (Ecuación despejada)

> Sustituyendo el valor de “x” en la 2ª ecuación :

5x +3y = 1

5(-11 +4y /3) +3y = 1

5(-11 +4y) +9y = 3         (Se multiplicó por (3), para eliminar el denominador)

-55 +2oy +9y = 3

29y = 3 +55

y = 58/29

y = 2  Solución(1)

> Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación despejada:

x = 4y -11 /3

x = 4(2) -11 /3

x = 8 -11 = 3

x = -3/3

x = -1     Solución(2).

∴ Los valores del conjunto solución son x = -1 ; y= 2

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b) Determina el punto de intersección de las rectas:

-x +y = -7    y     5x +3y = 3

> Despejando “x” en la 1ª ecuación:

-x +y = -7

-x = -y -7

x = y +7   Ecuación despejada

> Sustituyendo el valor de “x” en la otra ecuación:

5x +3y = 3

5(y +7) +3y = 3

5y +35 +3y = 3

8y = 3 -35

y = -32/8

y = -4      Solución(1).

> Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación despejada:

-x = -y -7

-x = -(-4) -7

-x = 4-7

-x = -3

x = 3  Solución(2)

∴ El punto de intersección  del sistema es (3, -4)

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c) Determina el conjunto solución del sistema:

-2x +y = -4      y     6x -3y = 12

> Despejando “y” de la primera ecuación:

-2x +y = -4

y = 2x -4     Ecuación despejada.

> Sustituyendo el valor de “y” en la otra ecuación:

6x -3y = 12

6x -3(2x-4) +12

6x -6x +12 = 12

0x = 12-12

0x = 0  Conjunto infinito de Soluciones.

Esto indica que el conjunto de soluciones son todos los números reales, porque las rectas son coincidentes.

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d) Determina el conjunto de solución del sistema:

3x -4y = 7    y    6x-8y = 3

> Despejando x de la primera ecuación:

3x -4y = 7

x = 4y +7 /3   Ecuación despejada.

> Sustituyendo el valor de “x” de la ecuación despejada en la otra ecuación:

6x-8y = 3

6(4y +7 /3) -8y = 3

2(4y +7) -8y = 3               ( se simplifico 6(4y +7 /3); dividiendo 6 entre 3= 2

8y +14 -8y = 3

8y -8y = 3-14

0y = -11     La ecuación no tiene solución, porque no tienen ningún punto coincidente, sus rectas son paralelas.

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Ejercicio 83 del Libro

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

1) 2x +y = -10    y     x -3y = 2

> Despejando “y” en la 1ª ecuación:

2x +y = -10

y = -2x -1o    Ecuación despejada

> Sustituyendo el valor de “y” en la 2ª ecuación:

x -3y = 2

x -3(-2x -10) =2

x +6x +30 = 2

7x +30 = 2

x = 2 -30 /7

x = -28/7

x = -4  Solución (1)

> Sustituyendo el valor de “x” en la ecuación despejada:

y = -2x -10

y = -2(-4) -10

y = 8 -10

y = -2  Solución (2)

∴ Los valores del conjunto solución son x= -4  y  y= -2

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2) 2m -5n = 14    y    5m +2n = -23

> Despejando “m” en la 1ª ecuación:

2m -5n = 14

m = (5n +14)/2   Ecuación despejada

> Sustituyendo “m” en la 2ª ecuación:

5m +2n = -23

5(5n+14 /2) +2n = -23

5(5n+14 /2) +4n = -46      (multiplicar por 2 para eliminar denominadores)

25n +70 +4n = -46

29n +70 = -46

n = -46 -70 /29

n = -4   Solución (1)

> Sustituyendo el valor de “n” en la ecuación despejada:

m = (5n +14)/2

m = [5(-4) +14]/2

m = (-20 +14)/2

m = -6/2

m = -3  Solución (2)

∴  Los valores del conjunto solución son:  m=-3  y  n= -4

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4) 9x -2y = -3    y    7y -12x = 17

> Despejando “y” en la 1ª ecuación:

9x -2y = -3

x = (2y -3)/9   Ecuación de despeje

> Sustituyendo “x” en la 2ª ecuación:

7y -12x = 17

7y -12(2y-3 /9) = 17

63y -12(2y-3) = 153

63y -24y +36 = 153

39y +36 = 153

y = (153 -36)/39

y = 117/39

y = 3    Solución (1)

> Sustituyendo el valor de “y” en la ecuación de despeje:

x = (2y -3)/9

x = [2(3) -3]/9

x = (6 -3)/9

x = 3/9

x = 1/3     Solución (2)

∴ Los valor del conjunto solución son :   x= 1/3   y   y= 3

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9) 12u -16v = 24    y    3u -4v = 6

> Despejando “v” en la 1ª ecuación:

12u -16v = 24

v = (-12u +24)/-16     Ecuación de despeje

> Sustituyendo el valor de “v” en la 2ª ecuación:

3u -4v = 6

3u -4[(-12u +24/-16] = 6

3u +1(-12u +24)/4 = 6     ( se simplificó dividiendo -4/-16 = 1/4)

12u -12u +24 = 24      ( Se multiplicó la ecuación por 4 para eliminar denominadores)

12u -12u =24 -24

ou = 0   Conjunto infinito de soluciones. 

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10)  -5x -15y = 2    y    x +3y = 7

> Despejando “y” de la 1ª ecuación:

-5x -15y = 2

y = 5x  +2 / -15    Ecuación de despeje

> Sustituyendo el valor de “y” en la 2ª ecuación:

x +3y = 7

x + 3[(5x+2)/-15] = 7

-15x +3(5x +2) = -105

-15x +15x +6 = -105

0x = -105 -6

0x = -121    No hay solución para este sistema, porque su conjunto es vacío.

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