Cálculo de Raíces.

Las raíz «n» de cualquier cantidad o expresión algebraica se resuelve con la siguiente fórmula. $\sqrt[n]{a^m}$ = $a^{m/n}$

Ejemplos:

1) Obtener la raíz de una expresión algebraica descomponiendo, en sus factores primos, su radicando:

a) $\sqrt[]{16}$ = $\sqrt[]{(2)(2)(2)(2)}$ = $\sqrt[]{2^4}$

–> $\sqrt[]{2^4}$ = $2^{4/2}$ = $2^{2}$ = 4 Solución.

b) $\sqrt[5]{-243} = \sqrt[5]{-3^5} =$ $-3^{5/5} = -3^{1} = -3$ Solución

c) $\sqrt[3]{64x^3} = \sqrt[3]{2^6x^3} =$ $\sqrt[3]{2^6} \sqrt[3]{x^3} =$ $2^{6/3} x^{3/3} = 2^{2} x^{1} = 4x$ Solución.

2) Obtener la raíz de una expresión algebraica descomponiendo, en sus factores primos, su radicando y aplicando los Teoremas de Radicales respectivos, según sea el caso.

a) $\sqrt[5]{ \frac{32x^5}{243y^10} } = \sqrt[5]{ \frac{2^5x^5}{3^5y^10} } =$ $\frac{ \sqrt[5]{2^5x^5} }{ \sqrt[5]{3^5y^10} } = \frac{ \sqrt[5]{2^5} }{ \sqrt[5]{3^5} }\frac{ \sqrt[5]{x^5} }{ \sqrt[5]{y^10} } =$

= $\frac{2^{5/5}x^{5/5}}{3^{5/5}y^{10/5}} = \frac{2^{1}x^{1}}{3^{1}y^{2}} = \frac{2x}{3y^{2}}$ Solución.

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Ejercicio 100 del Libro.

Determinar las siguientes raíces:

1) $\sqrt[]{729}$

> Descomponiendo en factores primos:

$\sqrt[]{729}= \sqrt[]{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} =\sqrt[]{3^6}$

> Aplicando Teorema:

$\sqrt[]{3^6}$ $= 3^{6/2} = 3^{3} = 27$ Solución.

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2) $\sqrt[3]{8}$

$= \sqrt[3]{2^3}$ ( Descomponiendo en factores primos)

$= 2^{3/3}$ ( aplicando teorema)

$= 2^{1} = 2$ Solución.

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4) $\sqrt[]{196}$

$= \sqrt[]{14^2} =$ $14^{2/2} = 14^{1} = 14$ Solución.

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6) $\sqrt[]{ \frac{81}{16} }$

$= \sqrt[]{ \frac{3^4}{2^4} } =$ $\frac{ \sqrt[]{3^4} }{ \sqrt[]{2^4} } =$ $\frac{3^{4/2}}{2^{4/2}} = \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}$ Solución.

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8) $4\sqrt[5]{-32}$

$= 4\sqrt[5]{(-2)^5} =$ $= 4(-2)^{5/5} = 4(-2)^{} = -8$ Solución.

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11) $\sqrt[3]{27m^6n^9}$

$= \sqrt[3]{3^3m^6n^9}$ $= 3^{3/3} m^{6/3}n^{9/3} = 3^{1} m^{2}n^{3} = 3^} m^{2}n^{3}$ Solución.

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14) $m^{4}n^{3}$ $\sqrt[5]{ \frac{32}{m^5n^10} }$

$= m^{4} n^{3}$ $\sqrt[5]{ \frac{2^5}{m^5n^10} }$ $= m^{4} n^{3}$ $( \frac{2^{5/5}}{m^{5/5}n^{10/5}})$ $=m^{4} n^{3}$ $( \frac{2^{}}{m^{}n^{2}}) = \frac{2m^4n^3}{m^{}n^{2}} =$ $2m^{3} n^{}$ Solución.