Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto, por trinomio de la forma x^2+bx+c.


Este caso es aplicable cuando nos dan un trinomio que no es cuadrado perfecto.  Para que sea trinomio cuadrado perfecto, el término cuadrático y el término independiente deben tener raíz cuadrada exacta; y además, el término lineal o sea el segundo término debe ser igual a el doble del producto de las raíces de los términos extremos.

Procedimiento para convertir un trinomio a cuadrado perfecto por medio del trinomio de la forma x^2±bx±c:

1) Ordenar el trinomio por la letra con mayor exponente (la cuadrática).  Si fuera necesario.

2) El coeficiente del término lineal se divide entre 2 y luego la fracción que resulta se eleva al cuadrado.

3) Se suma y se resta la fracción al trinomio, colocándolas después del término lineal.

4) Se factoriza el trinomio formado por el término cuadrático, el término lineal y la fracción sumada.

5) Se agrega después de la factorización, la fracción restada y el valor independiente de la expresión original.

6) Se simplifica y se forma una Diferencia de Cuadrados.

7) Se factoriza la diferencia de Cuadrados para llegar a la Solución.

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Ejemplo:

Factorizar  x² -3x -10

> Completando el trinomio a trinomio cuadrado perfecto:

Si (3/2)² = 9/4

> Sumando  y restando la fracción al trinomio original:

–>  x² -3x +9/4 -9/4-10

> Formando el trinomio y factorizándolo:

= x² -3x +9/4 = (x -3/2)²

> Agregando los demás términos al trinomio factorizado:

= (x -3/2)² -9/4 -10

> Simplificando la nueva expresión:

= (x -3/2)² -49/4

(x -3/2)² -(7/2)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= [(x – 3/2)- 7/2][(x – 3/2) + 7/2]

= (x – 3/2 +7/2)(x – 3/2 -7/2)

= (x + 4/2)(x – 10/2)

= (x +2)(x – 5)   Solución.

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Ejercicio 49 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1) x² -3x +2

> Completando el trinomio a trinomio cuadrado perfecto:

Si  (3/2)² = 9/4

> Sumando y restando la fracción:

–> x² -3x + 9/4 – 9/4 +2

> Formando el trinomio cuadrado perfecto y factorizándolo:

=  x² -3x + 9/4 = (x – 3/2)²

> Agregando los otros términos de la expresión:

=  (x – 3/2)² – 9/4 +2

> Simplificando la nueva expresión y  factorizándola como Diferencia de Cuadrados:

= (x – 3/2)² – 1/4

= (x – 3/2)² – (1/2)²

= [(x – 3/2- 1/2)][(x – 3/2) + 1/2]

= (x – 3/2 – 1/2)(x – 3/2 + 1/2)

= (x – 4/2)(x – 2/2)

= (x -2)(x -1)   Solución.

__________________________________________

2)  x² -x -20

Si (1/2)² = 1/4

–>  x² – x +1/4 – 1/4 – 20

= (x² – x +1/4) – 1/4 – 20

= (x – 1/2)² – 81/4

(x – 1/2)² – (9/2)²

= [(x – 1/2)- 9/2][x – 1/2 + 9/2]

= (x – 1/2 -9/2)(x – 1/2 + 9/2)

= (x – 5)(x +4)   Solución.

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3)  m² – 7m + 10

Si  (7/2)² = 49/4

–> m² – 7m + 49/4 – 49/4 + 10

= (m² – 7m + 49/4) – 49/4 + 10

= (m – 7/2)² – 9/4

(m – 7/2)² – (3/2)²

=  [(m – 7/2) – 3/2][(m – 7/2) + 3/2]

= (m – 7/2 – 3/2)(m – 7/2 + 3/2)

= (m – 5)(m – 2)   Solución.

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