Método para resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres variables por determinantes.


Un determinante de tres por tres o de tercer orden, es un arreglo rectangular (o matriz) de números de la siguiente forma general:

    Se repiten los dos primeros renglones después del tercer renglón.

Se multiplican tres valores de izquierda a derecha en tres diagonales hacia abajo “\”, empezando en el primer valor del primer renglón, para encontrar el primer sumando; después se multiplican tres valores de izquierda a derecha en tres diagonales hacia arriba “/”, empezando desde el primer valor del último renglón, para encontrar el siguiente sumando.  Cada sumando se forma con la suma de los productos.  Luego se efectúa una diferencia de los sumandos y por último se simplifica para encontrar el valor de la variable.  Cada terna de diagonales deberán ser paralelas.

Expresión de las operaciones:

Esta matriz de tercer orden surge del sistema de tres ecuaciones con tres variables de la expresión:

Para resolver el sistema se aplica una fórmula para cada variable, utilizando la forma general como denominador de una fracción. El numerador de la fracción será diferente dependiendo de la variable a resolver.

.                                

x=                             y=                                  z=                         .

.                                 

Procedimiento:

1) Se establecen los valores para a, b, c, d.

2) Se aplica la fórmula correspondiente para cada variable sustituyendo los valores.

3) Se realizan las operaciones.

4) Se simplifica para llegar a la solución de cada variable.

5) La solución del sistema de ecuaciones serán los valores encontrados de cada variable. (x, y, z)

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Ejemplo.

Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer:

> Estableciendo los valores para a, b, c, d:

> Aplicando la fórmula para cada variable y sustituyendo valores para a, b, c, d:

.     

.                               

 

.     

.                                

 

.     

.                                

La solución del sistema es  

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Ejercicio 89 del Libro.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por Determinantes:

.        a     b       c        d

3)  

> Aplicando la fórmula para cada variable y sustituyendo valores para a, b, c, d:

.     

.                              

 

.     

.                                

 

.      

.                              

 

La solución del sistema es  

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4)  

.   a       b     c         d

        (Se ordenó la 2ª y 3ª ecuación)

 

> Aplicando la fórmula para cada variable y sustituyendo valores para a, b, c, d:

.    

.                       

 

.     

.                        

 

.     

.                          

La solución del sistema es  

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