Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o más casos de factorización.


Existen polinomios que se deben factorizar dos o más veces con diferentes casos de factorización para llegar a una solución final.

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Ejemplos:

a) Factorizar 2x³ +6x² -8x

–> Aplicando el Factor común:

= 2x(x² +3x -4)

–> Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 2x(x+4)(x-1)   Solución.

_________________________________________

b) Factorizar  

–> Aplicando el Factor común:

–> Aplicando Diferencia de Cuadrados a   :

= 3(m² – 9)(m² + 9)

= Aplicando Diferencia de Cuadrados a  m² – 9:

= 3(m -3)(m + 3)(m² + 9)   Solución.

_________________________________________

Ejercicio 50 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1)  x³ -3x² -28x

Aplicando el Factor común:

= x(x² -3x -28)

Aplicando Trinomio de la forma x² +bx +c:

= x(x -7)(x +4)   Solución.

________________________________________________

3)  3a² -3a -6

Aplicando el Factor común:

= 3(a² -a -3)

Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 3(a -2)(a +1)   Solución.

________________________________________________

5)  m³ -m² -m +1

Aplicando el Factor común por Agrupación de Términos:

= (m³ – m²) – (m -1)

Factorizando los binomios:

m²(m-1) – 1(m -1)

= (m -1)(m² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados a  m² -1:

=  (m -1)(m -1)(m +1)

= (m -1)²(m +1)  Solución.

_________________________________________________

8)  8ax² -2a

Aplicando el Factor Común:

= 2a(4x² – 1)

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  4x² – 1:

= 2a(2x -1)(2x +1)   Solución.

__________________________________________________

9)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando el Trinomio de la forma x +bx +c:

= a(a² +2)(a² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados

= a(a² +2)(a -1)(a +1)   Solución.

___________________________________________________

13)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

   Solución.

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Factorización que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados.


Procedimiento:

  1. Identificar los términos de un o más trinomios cuadrados perfectos y agruparlos.
  2. Factorizar el trinomio o trinomios cuadrados perfectos.
  3. Con el resultado del trinomio y el o los otros términos de la expresión formar una diferencia de cuadrados.
  4. Factorizar la diferencia de cuadrados.
  5. Simplificar para llegar a la solución final.

Recuerda: que los trinomios cuadrados perfectos son los que su primer y tercer términos tienen raíz cuadrada y su segundo término debe ser igual al doble del producto de las raíces de los términos extremos.

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Ejemplos:

a) Factorizar  x² -2xy +y² -a²

–> Agrupando los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto:

= (x² -2xy +y²) -a²

–> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

= (x -y)² -a²

–>Factorizando como diferencia de cuadrados:

= (x -y +a)(x -y -a)   Solución.

_______________________________________

b) Factorizar  16a² -m² -8mn -16n²

–> Agrupando los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto:

= 16a² +(-m² -8mn -16n²)

= 16a² -(m² +8mn +16n²)

–> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

= 16a² -(m + 4n)²

= (4a)² – (m + 4n)²

–> Factorizando como diferencia de cuadrados:

= [4a + (m+4n)][4a – (m +4n)]

= [4a +m +4n)][4a -m -4n)]  Solución.

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c) Factorizar  

–> Agrupando los trinomios cuadrados perfectos:

–> Factorizando los trinomios cuadrados perfectos:

–> Factorizando como diferencia de cuadrados:

   Solución.

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Ejercicio 48 del Libro.

Factoriza las siguientes expresiones:

1) m² +2m +1 -4n²

–> (m² +2m +1) – 4n²

= (m +1)² – (2n)²

–> (m +1 +2n)(m +1 -2n)

= (m +2n +1)(m -2n +1)   Solución.

________________________________________________

2)  y² -6y +9 -z²

–> (y² -6y +9) -z²

= (y – 3)² – (z)²

–> (y -3 +z)(y -3 -z)

= (y +z -3)(y -z -3)   Solución.

________________________________________________

4)  

ó     Solución.

________________________________________________

6)  m² -6x -9 -x² +2am +a²

–> (m² +2am+a²) + (-x² -6x -9)

=  (m² +2am+a²) – (x² +6x +9)

–> (m + a)²-(x + 3)²

= [m +a + (x + 3)][m +a – (x + 3)]

=(m + a + x + 3)(m + a – x – 3)

ó = (m + a – x – 3)(m + a + x + 3)  Solución.

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Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.


Este caso el trinomio que nos dan no es cuadrado perfecto, porque el segundo término no es el doble del producto de las raíces de los otros términos; por lo que es necesario completarlo.

Procedimiento:

1)Se verifica si el trinomio dado es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz² de el primer y tercer términos y multiplicando 2 por el producto de dichas raíces.

2) Si el segundo término del trinomio original no es igual al segundo término verificado, entonces se establece la diferencia; y ésta se sumará y se restará a la expresión.

3) Se forma una nueva expresión sumando la diferencia después del segundo término original y restándola al final de la expresión. ax²+bx+dx+c²-dx. (siendo dx la diferencia que se estableció entre los términos)

4) Se escribe entre paréntesis el trinomio cuadrado perfecto establecido y simplificado y a continuación el último término de la nueva expresión.

5) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y se simplifica para formar una diferencia de cuadrados.

6) Se factoriza la diferencia de cuadrados perfectos y se simplifica para llegar a la solución.

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Ejemplo:

Factorizar la expresión  

> Verificando  si el trinomio dado es cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de    y   raíz cuadrada de  

→ 2(2m²)(3n²) = 12m²n²  (Este debería ser)

12m²n² – 3m²n² =  9m²n²  ( Esto es lo que falta)

Por lo tanto debemos sumar 9m²n², para completar el trinomio cuadrado perfecto, y a la vez restar 9m²n²  para no alterar la expresión:

> Escribiendo entre paréntesis el trinomio cuadrado establecido y simplificado, y a continuación el otro término:

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto y simplificado para encontrar una diferencia de cuadrados:

> Factorizando la diferencia de cuadrados:

   Solución.

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Ejercicio 49 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

12)  

> Verificando  si el trinomio dado es cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de    y   raíz cuadrada de  1 = 1

→ -2(a²)(1) = -2a²  (Este debería ser)

-2a² – (-6a²) = -2a² +6a² =  4a²  ( Esto es lo que falta)

Por lo tanto debemos sumar 4a², para completar el trinomio cuadrado perfecto, y a la vez restar 4a²  para no alterar la expresión.

> Formando la nueva expresión:

> Escribiendo entre paréntesis el trinomio cuadrado establecido y simplificado, y a continuación el otro término:

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto y simplificado para encontrar una diferencia de cuadrados:

> Factorizando la diferencia de cuadrados:

   Solución.

___________________________________________

13)  

²√ de      y   ²√ de  

Si,  

–> 

  Solución.

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14)  

²√ de      y   ²√ de  

Si,  -2(x²)(10) = -20x²

–> -20x² -(-45x²) = -20x² +45x² = 25x²

  Solución.

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Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto por el trinomio de la forma ax^2+bx+c


Procedimiento:

1) Se factoriza el trinomio ax² ± bx ± c para convertir un factor en trinomio de la forma x² ± bx ± c.  El otro factor se deja pendiente para el final del desarrollo.

2) Se completa el nuevo trinomio para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto.

3) Se simplifica la nueva expresión para formar una Diferencia de Cuadrados.

4) Se factoriza la Diferencia de Cuadrados.

5) Se operan los factores resultantes con el factor que quedo pendiente al inicio.

6) Se simplifica para llegar al resultado final o Solución.

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Ejemplo:

Factorizar  2x^2 +5x +2

> Factorizando la expresión, para convertirla en trinomio de la forma x² +bx +c:

= 2(x² + 5/2 x + 1)

> Convirtiendo el nuevo trinomio a Trinomio Cuadrado Perfecto:

=2(x² + 5/2x + 25/16 – 25/16 + 1)

=2(x² + 5/2x + 25/16)- 25/16 + 1

> Simplificando para convertir el resultado a Diferencia de Cuadrados:

= 2(x + 5/4)² – 9/16

= 2(x + 5/4)² – (3/4)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= 2[(x +5/4)- 3/4][(x + 5/4)+ 3/4]

= 2(x +5/4- 3/4)(x + 5/4+ 3/4)

= 2(x + 1/2)(x + 2)

> Operando los factores con el factor pendiente del inicio y simplificando:

= (2x + 1)(x + 2)    Solución.

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Ejercicio 49 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

7)  3x² +10x +8

> Factorizando la expresión, para convertirla en trinomio de la forma x² +bx +c:

= 3(x² + 10/3x + 8/3)

> Convirtiendo el nuevo trinomio a Trinomio Cuadrado Perfecto:

= 3(x² + 10/3x +25/9 – 25/9 + 8/3)

= 3(x² + 10/3x +25/9) – 25/9 + 8/3

> Simplificando para convertir el resultado a Diferencia de Cuadrados:

= 3(x² + 10/3x +25/9) – 1/9

= 3(x + 5/3)² – (1/3)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= 3[(x + 5/3)+ 1/3][(x + 5/3)- 1/3]

= 3(x + 5/3 + 1/3)(x + 5/3 – 1/3)

= 3(x + 2)(x + 4/3)

> Operando los factores con el factor pendiente del inicio y simplificando:

= 3(x + 4/3)(x + 2)

= (3x + 4)(x+2)   Solución.

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8)  6m² + 7m + 2

= 6(m² + 7/6m + 1/3)

Si  

–> 6(m² + 7/6m + 49/144 – 49/144 + 1/3)

=  6(m² + 7/6m + 49/144) – 49/144 + 1/3

= 6(m + 7/12)² – 49/144 + 1/3

= 6(m + 7/12)² – 1/144

= 6(m + 7/12)² – (1/12)²

= 6(m + 7/12 + 1/12)(m + 7/12 – 1/12)

= 6(m + 2/3)(m + 1/2)

> Descomponiendo el 6 en dos factores para poder simplificar a enteros las fracciones:

= 3(m + 2/3)2(m + 1/2)

= (3m + 2)(2m +1)    Solución.

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9)  3a² -a -4

= 3(a² – 1/3a – 4/3)

Si  

–> = 3(a² – 1/3a + 1/36 – 1/36 – 4/3)

= 3(a² – 1/3a + 1/36) – 1/36 – 4/3

= 3(a – 1/6)² – 49/36

= 3(a – 1/6)² – (7/6)²

= 3(a – 1/6 – 7/6)(a – 1/6 + 7/6)

= 3(a – 4/3)(a + 1)

= (3a – 4)(a + 1)   Solución.

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Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto, por trinomio de la forma x^2+bx+c.


Este caso es aplicable cuando nos dan un trinomio que no es cuadrado perfecto.  Para que sea trinomio cuadrado perfecto, el término cuadrático y el término independiente deben tener raíz cuadrada exacta; y además, el término lineal o sea el segundo término debe ser igual a el doble del producto de las raíces de los términos extremos.

Procedimiento para convertir un trinomio a cuadrado perfecto por medio del trinomio de la forma x^2±bx±c:

1) Ordenar el trinomio por la letra con mayor exponente (la cuadrática).  Si fuera necesario.

2) El coeficiente del término lineal se divide entre 2 y luego la fracción que resulta se eleva al cuadrado.

3) Se suma y se resta la fracción al trinomio, colocándolas después del término lineal.

4) Se factoriza el trinomio formado por el término cuadrático, el término lineal y la fracción sumada.

5) Se agrega después de la factorización, la fracción restada y el valor independiente de la expresión original.

6) Se simplifica y se forma una Diferencia de Cuadrados.

7) Se factoriza la diferencia de Cuadrados para llegar a la Solución.

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Ejemplo:

Factorizar  x² -3x -10

> Completando el trinomio a trinomio cuadrado perfecto:

Si (3/2)² = 9/4

> Sumando  y restando la fracción al trinomio original:

–>  x² -3x +9/4 -9/4-10

> Formando el trinomio y factorizándolo:

= x² -3x +9/4 = (x -3/2)²

> Agregando los demás términos al trinomio factorizado:

= (x -3/2)² -9/4 -10

> Simplificando la nueva expresión:

= (x -3/2)² -49/4

(x -3/2)² -(7/2)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= [(x – 3/2)- 7/2][(x – 3/2) + 7/2]

= (x – 3/2 +7/2)(x – 3/2 -7/2)

= (x + 4/2)(x – 10/2)

= (x +2)(x – 5)   Solución.

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Ejercicio 49 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1) x² -3x +2

> Completando el trinomio a trinomio cuadrado perfecto:

Si  (3/2)² = 9/4

> Sumando y restando la fracción:

–> x² -3x + 9/4 – 9/4 +2

> Formando el trinomio cuadrado perfecto y factorizándolo:

=  x² -3x + 9/4 = (x – 3/2)²

> Agregando los otros términos de la expresión:

=  (x – 3/2)² – 9/4 +2

> Simplificando la nueva expresión y  factorizándola como Diferencia de Cuadrados:

= (x – 3/2)² – 1/4

= (x – 3/2)² – (1/2)²

= [(x – 3/2- 1/2)][(x – 3/2) + 1/2]

= (x – 3/2 – 1/2)(x – 3/2 + 1/2)

= (x – 4/2)(x – 2/2)

= (x -2)(x -1)   Solución.

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2)  x² -x -20

Si (1/2)² = 1/4

–>  x² – x +1/4 – 1/4 – 20

= (x² – x +1/4) – 1/4 – 20

= (x – 1/2)² – 81/4

(x – 1/2)² – (9/2)²

= [(x – 1/2)- 9/2][x – 1/2 + 9/2]

= (x – 1/2 -9/2)(x – 1/2 + 9/2)

= (x – 5)(x +4)   Solución.

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3)  m² – 7m + 10

Si  (7/2)² = 49/4

–> m² – 7m + 49/4 – 49/4 + 10

= (m² – 7m + 49/4) – 49/4 + 10

= (m – 7/2)² – 9/4

(m – 7/2)² – (3/2)²

=  [(m – 7/2) – 3/2][(m – 7/2) + 3/2]

= (m – 7/2 – 3/2)(m – 7/2 + 3/2)

= (m – 5)(m – 2)   Solución.

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Suma o diferencia de potencias impares iguales.


Son las expresiones de la forma a^n+b^n  ó  a^n-b^n, donde “n” es un número impar, y su descomposición factorial se presenta de las formas siguientes:

La cantidad de términos del segundo factor será igual al número del exponente de las potencias.

Cuando es suma de potencias el primer factor es la suma de sus raíces y en el segundo factor, el signo entre los términos se va alternando.  El primer término será positivo, el segundo negativo, el tercero positivo, así sucesivamente hasta el último término.

Cuando es diferencia de potencias el primer factor es la diferencia de sus raíces y en el segundo factor el signo entre los términos será positivo para todos.

Veamos unos ejemplos para comprender la construcción de la fórmula y su desarrollo.

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Procedimiento:

1) Extraer las raíces de las potencias del binomio

2) Sustituir los valores de las raíces en la fórmula respectiva.

3) Desarrollar y simplificar las operaciones para llegar a la solución.

Recordar que: toda potencia elevada al exponente 1 (x^1) es igual a la base “x” ; y que toda potencia elevada al exponente 0 (x^0) es igual a la unidad (1).

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Ejemplos:

a) Factorizar la expresión 

> Extrayendo la raíz de los términos de las potencias:

    y   

> Sustituyendo el valor de las raíces en la fórmula:

> Desarrollando y simplificando las operaciones para llegar a la solución:

  Solución.

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b) Factorizar la expresión  

> Extrayendo la raíz de los términos de las potencias:

    y    

> Sustituyendo el valor de las raíces en la fórmula:

> Desarrollando y simplificando las operaciones para llegar a la solución:

  Solución.

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Ejercicio 47 del Libro

Factorizar las siguientes expresiones:

1)  x³ +64y³

    y    

–> 

   Solución.

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2) 

     y   

–> 

   Solución.

___________________________________________

3)  

     y      

–> 

   Solución.

____________________________________________

4)  

     y      

–> 

   Solución.

____________________________________________

5)  

     y    

–> =  

   Solución.

____________________________________________

6)  

    y  

–>

=

  Solución.

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Suma o diferencia de cubos.


La suma  de cubos (a³+b³)  =  (a+b)(a² -ab +b²).

La diferencia de cubos (a³-b³)  =  (a-b)(a² +ab +b²).

Procedimiento:

1) Se extrae la raíz cúbica de los términos.

2) Se sustituyen esas raíces en la fórmula de la suma o de la diferencia.

3) Se desarrolla y se simplifica la fórmula para encontrar la solución.

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Ejemplos:

a) Factorizar  27x³ +8

> La raíz cúbica de 27x³ es  3x    y    de 8 es  2

> Sustituyendo las raíces encontradas en la fórmula respectiva:

27x³ +8 = (3x+2)[(3x)² -(3x)(2) +(2)²]

> Desarrollando y simplificando las operaciones:

=  (3x+2)[9x² -6x +4]    Solución.

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b) Factorizar   

> Raíz cúbica de  = m³    y   de 216 = 6

> Sustituyendo las raíces en la fórmula respectiva:

   = (m² -6)[(m²)² +(m²)(6) +6²]

> Desarrollando y simplificando las operaciones:

   Solución.

______________________________________

c) Factorizar  

> La raíz cúbica de     y    de 

> Sustituyendo las raíces en la fórmula respectiva:

> Desarrollando y simplificando las operaciones:

   Solución.

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Ejercicio 46 del Libro.

Factoriza las siguientes expresiones:

1)  8x³ -1

Raíz³ de 8x³ = 2x    y raíz³ de  1³ = 1

–> = (2x -1)[(2x)² +(2x)(1) + 1²]

= (2x -1)(4x² +2x +1)   Solución.

___________________________________________

2)  x³ +27

Raíz³ de x³ = x  y raíz cúbica de 27 = 3

–> = (x +3)[x² -(x)(3) +3²]

=  (x+3)(x -3x +9)   Solución.

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3)  8x³ +y³

Raíz³ de 8x³ = 2x   y raíz³ de y³ = y

–> = (2x +y)[(2x)² -(2x)(y) +y²]

= (2x +y)(4x² -2xy +y²)   Solución.

___________________________________________

4)  27a³ -b³

Raíz³ de 27a³ = 3a   y  raíz³ de b³ = b

–> =  (3a -b)[(3a)² +(3a)(b) +(b)²]

= (3a -b)(9a² +3ab +b²)   Solución.

___________________________________________

5)  

Raíz³ de     y  raíz³ de  

–> = (2a -3b²)[(2a)² +(2a)(3b²) + (3b²)²]

   Solución.

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6)  64a³ -729

Raíz³ de 64a³ = 4a   y raíz³ de 729 = 9

–> =  (4a -9)[(4a)² +(4a)(9) +(9)²]

=  (4a -9)(16a² +36a +81)   Solución.

___________________________________________

7)  

Raíz³ de  y raíz de  

–> (8 -3a³)[(8)² +(8)(3a³) +(3a³)²]

   Solución.

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8)  

Raíz³ de    y raíz³ de  

–>  

  Solución.

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