División de Fracciones Algebraicas.


Regla para  dividir fracciones:

1) Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda,(o sea el producto de los extremos); el resultado será el numerador de la fracción resultante.

2) Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, (o sea el producto de los medios); el resultado será el denominador de la fracción resultante.

3) Las multiplicaciones anteriores se dejan indicadas en la fracción resultante, para efectos de poder simplificar la fracción.

4) Se simplifica los términos o factores comunes del numerador con el denominador antes de multiplicar.

5) Se multiplican los términos restantes y se simplifica si fuera necesario.

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Ejemplos:

a) Divide:  m^2 / 3n^2 ÷ 2m/n^3

> Multiplicando numerador de la 1ª fracción con el denominador de la 2ª; y el denominador de la 1ª fracción con el numerador de la 2ª.

= (m^2)(n^3) / (3n^2)(2m)

> Como no hay términos comunes se procede a multiplicar las fracciones:

= m^2 n^3 / 6mn^2

< Simplificando la fracción resultante:

= mn/6  Solución.

_______________________________________

b) Simplifica :  3x^2/(x^2+1)^2  /  x/(x^2+1)

> Se multiplican los extremos y se parte por el producto de los medios.( Esto es cuando la división de las fracciones se escriben una debajo de la otra)

= 3x^2(x^2+1) / (x)(x^2+1)^2

> Simplificando el numerador y el denominador de la fracción:

= 3x/(x^2+1)   Solución.

________________________________________

c) Realiza y simplifica:  a^3-a /2a^2+6a ÷ 5a^2-5a /2a+6

> En este caso debe factorizarse las fracciones antes de multiplicar:

= a(a+1)(a-1) /2a(a+3) ÷ 5a(a-1) /2(a+3)

> Se indican las multiplicaciones y luego se simplifica:

= a(a-1)(a+1)(2)(a+3) / (2a)(a+3)(5a)(a-1)

> Simplificando las fracciones:

= (a+1) / 5a   Solución.

________________________________________

Ejercicio 57 del Libro.

Realiza las siguientes operaciones y simplifica al máximo.

1) 2x^3/y^2 ÷ 8x^5/3y^3

> Multiplicando las fracciones:

= (2x^3)(3y^3)/(y^2)(8x^5)

> simplificando la fracción resultante:

= (1)(3y)/(4x^2)(1)

= 3y/4x^2   Solución.

_________________________________________

2) 12a^4b^5/15x^6y^3 ÷  4a^2b/5x^2y^3

> Multiplicando las fracciones:

= (12a^4b^5)(5x^2y^3)/(15x^6y^3 )(4a^2b)

> Simplificando la fracción resultante:

= 3a^2 b^4/3x^4

= a^2 b^4/x^4   Solución.

________________________________________

3) 6x^2/(2x+3)^3 / 2x^4/(2x+3)

> Multiplicando las fracciones:

= (6x^2)(2x+3)/(2x+3)^3 (2x^4)

> Simplificando la fracción resultante:

= 3/x^2(2x+3)^2   Solución.

________________________________________

6) x^3+x/x^2-x ÷ x^3-x^2/x^2-2x+1

> Factorizando las fracciones:

= x(x^2+1)/x(x-1) ÷ x^2(x-1)/(x-1)(x-1)

> Multiplicando las fracciones:

= x(x^2+1)(x-1)(x-1) /x(x-1)x^2(x-1)

> Simplificando la fracción resultante:

= x^2+1/x^2   Solución.

________________________________________

7) x^2-9/x^2+2x-3 ÷ x^2+6x-27/x^2-10x+9

> Factorizando las fracciones:

= (x+3)(x-3)/(x+3)(x-1) ÷ (x+9)(x-3)/(x-9)(x-1)

> Multiplicando las fracciones:

= (x+3)(x-3)(x-9)(x-1) / (x+3)(x-1)(x+9)(x-3)

> Simplificando las fracciones:

= x-9/x+9   Solución.

_______________________________________

10) 4x^2-23x-6/3x^2-14x+8 ÷ 4x^2+25x+6/x^2+x-30

> Factorizando las fracciones:

= (x-6)(4x+1)/(x-4)(3x-2) ÷ (x+6)(4x+1)/(x+6)(x-5)

> Multiplicando las fracciones:

= (x-6)(4x+1)(x+6)(x-5) / (x-4)(3x-2)(x+6)(4x+1)

> Simplificando la fracción resultante:

= (x-6)(x-5) / (x-4)(3x-2)

= x^2-11x+30 / 3x^2-14x+8  Solución.

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Anuncios

Multiplicación de Fracciones Algebraicas.


Regla :

* Se factorizan los elementos de las fracciones que van a multiplicarse, si es necesario.

* Se simplifican los términos que sean comunes en el numerador y el denominador de las fracciones.

* Se multiplican las fracciones simplificadas.

* Se simplifica la fracción resultante, hasta llegar a su mínima expresión.

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Ejemplos:

a) Multiplica  2x^2/3y · 6y^2/4x ⋅ 5xy/2y

Multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador:

= (2x^2)(6y^2)(5xy)/(3y)(4x)(2y)

= 60x^3 y^3/24xy^2

Simplificando la fracción resultante:

= 5x^2 y/2  Solución.

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b) Multiplica  m^2+9m+18 / m-5  ⋅  5m-25 / 5m+15

Factorizando numeradores y denominadores:

= (m+6)(m+3) / (m-5) ⋅ 5(m-5) /5(m+3)

Multiplicando las fracciones:

= (5)(m+6)(m+3)(m-5) / (5)(m-5)(m+3)

Simplificando términos comunes del numerador y el denominador:

= (m+6)/1 = m+6  Solución.

Nota: Se simplificó (m+3) de la 1ª fracción con (m+3) de la 2ª; y el (m-5) de la 1ª fracción con (m-5) de la 2ª; los que automáticamente se eliminan, quedando solamente el (m+6) como numerador y el (1) como denominador; lo que se escribe (m+6)/1 = m+6

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Ejercicio 56 del Libro.

Efectúa la multiplicación de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica:

1) 4a^2/7x^3  ⋅ 14x/5b^4 ⋅ 5b^2/7a^3

> Multiplicando las fracciones:

= (4a^2)(14x)(5b^2)/(7x^3)(5b^4)(7a^3)

= 280a^2 b^2 x / 245 a^3 b^4 x^3

> Simplificando la fracción resultante:

= 8/7ab^2 x^2   Solución.

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2) 5/x  ⋅ 2x/y^2 ⋅ 3y/10

> Multiplicando las fracciones

= (5)(2x)(3y)/(x)(y^2)(10)

= 30xy / 10x y^2

> Simplificando la fracción resultante:

= 3/y   Solución.

_______________________________________

6) 5m+25/14 ⋅ 7m+7/10m+50

> Factorizando las fracciones:

= 5(m+5)/14 ⋅ 7(m+1)/10(m+5)

> Multiplicando las fracciones:

= (5)(7)(m+5)(m+1)/(14)(10)(m+5)

> Simplificando la fracción resultante:

= 35(m+1)/140

= 1(m+1)/4 = m+1 /4  Solución.

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7) b^2-5b+6 /3b-15 ⋅ b^2-25 /2b-4 ⋅ 6b/b^2-b-30

> Factorizando las fracciones:

= (b-3)(b-2)/3(b-5) ⋅ (b-5)(b+5)/2(b-2) ⋅ 6b/(b-6)(b+5)

> Multiplicando las fracciones:

= (b-3)(b-2)(b-5)(b+5)(6b) /(3)(2)(b-5)(b-2)(b-6)(b+5)

> Simplificando la fracción resultante:
= 6b(b-3) /6(b-6)

= b(b-3) / b-6    Solución.

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Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes.


Procedimiento:  

1) Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores. Primero de los coeficientes y luego de la parte literal.

2) El mcm de los denominadores encontrado se divide entre cada denominador y el resultado se multiplica por su correspondiente numerador.

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Ejemplos:

a) Efectúa la siguiente operación: 3x / 2y^2 + 5y / 4x^2

> Encontrando el mcm de los denominadores 2y^2 ;  4x^2

de  2  y  4 es  4    ;  de  y^2   y   x^2  es x^2 y^2 

Entonces el mcm es 4x^2 y^2

> Realizando operaciones:

4x^2 y^2  ÷ 2y^2 = 2x^2

4x^2 y^2 ÷ 4x^2 = y^2

–> 3x(2x^2)  + 5y(y^2) /4x^2 y^2

= 6x^3 + 5y^3 /4x^2 y^2   Solución.

_____________________________________

b) Efectúa: 3x/x^2-6x+9 + 4/x-3

Factorizando el denominador de la 1º. fracción es = (x-3)(x-3)

> 3x/(x-3)(x-3) + 4/x-3

Encontrado el mcm de los denominadores:

de 3 y 4  es 12   ;   de  (x-3)(x-3) y  x-3 es (x-3)^2

Realizando operaciones:

(x-3)^2 ÷ (x-3)^2 = 1

(x-3)^2 ÷ (x-3) =  (x-3)

–> 3x (1) + 4(x-3)/(x-3)^2

= 3x + 4x-12 / (x-3)^2

= 7x-12 / (x-3)^2  Solución.

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Ejercicio 55 del Libro.

Efectúa y simplifica las siguientes operaciones:

1)  x-2/4x + x+5/10x 

> mcm de 4x  y  10x  es 20x

-> 20x ÷ 4x = 5       y, 20x ÷ 10x = 2

> Realizando operaciones

5(x-2) + 2(x+5) /20x

= 5x -10 + 2x +10 /20x

= 7x /20x

= 7/20    Solución

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2) x+1/2x + 2x+3/3x

mcm de  2x  y   3x  = 6x

-> 6x ÷ 2x = 3   y,  6x ÷ 3x = 2

Realizando operaciones

3(x+1) + 2(2x+3)/6x

= 3x+3 +4x+6 /6x

= 7x +9 /6x   Solución.

________________________________________

3) x-4/9x^2 + x-3/6x

mcm de 9x^2  y  6x = 18x^2

-> 18x^2 ÷ 9x^2 = 2   y    18x^2 ÷ 6x = 3x

Realizando operaciones

2(x-4) + 3x(x-3) /18x^2

= 2x-8 + 3x^2 -9x /18x^2

= 3x^2 -7x -8 /18x^2  Solución.

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4) 2x+5/6x – x+6/4x^2

mcm de 6x  y  4x^2 es = 12x^2

-> 12x^2 ÷ 6x = 2x   y,  12x^2 ÷ 4x^2 = 3

Realizando operaciones

2x(2x+5) – 3(x+6) /12x^2

= 4x^2 +10x -(3x +18) /12x^2

= 4x^2 +10x -3x -18 /12x^2

= 4x^2 +7x -18 /12x^2   Solución.

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Suma y resta de fracciones con denominador común.


Procedimiento:

1) Se simplifican las fracciones, si es necesario.

2) Se suman o restan las fracciones simplificadas.

3) Como el denominador de las fracciones es común, solo se reducen los numeradores.

4) Al resultado de la reducción se le pone el denominador común.

Nota: En algunos casos primero se suman los denominadores y luego se simplifica, para llevar el resultado a su mínima expresión.

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Ejemplo a)

Determinar el resultado de 2a -a^2b /a^2b  +  3a +4a^2b /a^2b

> Simplificando cada fracción:

2a -a^2b /a^2b = a(2 -ab)/a^2b = 2 -ab /ab

3a +4a^2b /a^2b = a(3 +4ab) /a^2b = 3+4ab/ab

> Sumando las fracciones simplificadas:

= 2 -ab/ab + 3+4ab/ab = 2-ab+3+4ab /ab = 5 +3ab /ab  Solución.

Ejemplo b)

Encuentra el resultado de:

2m+n /2m-n  +  5m-5n /2m-n  +  n-m /2m-n

> Se suman las fracciones:

= 2m+n+5m-5n+n-m /2m-n = 6m-3n /2m-n

> Aquí si se puede simplificar:

= 6m-3n /2m-n = 3(2m-n) /1(2m-n) = 3/1 = 3  Solución.

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Ejercicio 54 del Libro.

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

1)  2x^2 -7x /8x^2  + 6x^2 +x /8x^2

> Simplificando las fracciones:

2x^2 -7x /8x^2 =x(2x-7) /8x^2 = 2x-7 /8x

6x^2 +x /8x^2 = x(6x+1) /8x^2 = 6x+1/8x

> Sumando las fracciones simplificadas:

= 2x-7 /8x  +  6x+1 /8x = 2x-7+6x+1 /8x =

= 8x-6 /8x = 4x-3 /4x  Solución.

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2)  1-a^2 /a  –  7-2a^2 /a

> Sumando las fracciones:

1-a^2 /a  –  7-2a^2 /a = 1-a^2 -7 +2a^2 /a = a^2 -6 /a Solución.

En este caso como los numeradores no se pueden simplificar, únicamente se suman.

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3)  7n-1 /10n  +  8n-4 /10n

> Sumando las fracciones:

= 7n-1+8n-4 / 10n = 15n -5 /10n

> Simplificando la suma de las fracciones:

15n -5 /10n = 3n -1 /2n  Solución.

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4) 7m^2 -6m /4mn  +  12m^2 -3m /4mn

> Sumando las fracciones:

7m^2 -6m /4mn  +  12m^2 -3m /4mn = 7m^2 -6m +12m^2 -3m/4mn

= 19m^2 -9m /4mn

> Simplificando la suma de las fracciones:

19m^2 -9m /4mn  = m(19m -9) /4mn =

= 19m -9 /4n   Solución.

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Simplificación de Fracciones algebraicas.


Es el proceso de factorizar el numerador y/o el denominador y posteriormente dividir los factores semejantes que se encuentran en ambas posiciones.

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Procedimiento:

1) Se factorizan el numerador y/o el denominador con la intención de dejar términos semejantes en ambos, para poder simplificarlos.

2) Se dividen factores semejantes que se encuentren en el numerador y el denominador, con el fin de simplificar la fracción.

3) Se llega al mínima expresión y ésta sera la solución.

Nota: Toma en cuenta que al factorizar los miembros de la fracción, debes utilizar el Caso o Casos de Factorización más adecuado para poder proceder posteriormente a la simplificación.

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Ejemplos:

a) Simplificar   8a^2 +12ab / 8a^2

-> Factorizando el numerador y el denominador:

= 4a(2a +3b) / (4a)(2a)

-> Se simplifica la fracción dividiendo los factores semejantes:

= (2a+3b) / 2a = 2a+3b /2a  Solución.

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b) Simplificar  3m/ 15m -12m^2

-> Factorizando solamente el denominador:

= 3m / 3m(5 -4m)

-> Simplificando la fracción:

= 1/ (5 -4m) = 1/5m-4m   Solución.

Nota: al simplificar la fracción se divide 3m entre 3m, quedando el numerador solamente 1; ya que todo valor simple o compuesto siempre está multiplicado por uno: en este caso 3m esta multiplicado por uno: 1(3m).

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Ejercicio 53 del Libro.

Simplifica las siguientes fracciones:

1)  2a^2 +2ab /3a^2b

-> Factorizando el numerador y el denominador:

= a(2a+2b) / a(3ab)

-> Simplificando la fracción:

= 1(2a+2b) / 1(3ab) = 2a+2b / 3ab   Solución.

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2) 6a^3b^2 / 3a^2b -6ab^2

-> Factorizando:

= 3ab(2a^2 b) /3ab(a -2b)

-> Simplificando:

= 1(2a^2 b) / 1(a -2b) = 2a^2 b /a -2b   Solución.

________________________________________

3)  4a^2 +12a / 8a^2

-> Factorizando:

= 4a(a +3) / 4a(2a)

-> Simplificando:

= 1(a+3) / 1(2a) = a+3 / 2a   Solución.

_______________________________________

4) 6m^3 -18m^2 -24m / 15m -9m^2

-> Factorizando:

= 3m(2m^2 -6m -8) / 3m(5 -3m)

-> Simplificando:

= 1(2m^2 -6m -8) / 1(5 -3m) =

= 2m^2 -6m -8 / 4 -3m   Solución. 

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Mínimo Común Múltiplo


Mínimo Común Múltiplo es el término algebraico de dos o más expresiones que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas.

Procedimiento:

1)  Se obtiene el mcm de los coeficientes.

2) Se toman todos los factores que se repiten y que no, y de cada uno de ellos se escoge el de mayor exponente y se copian a continuación de el mcm de los coeficientes.

3) Esa expresión es el mcm de todas las expresiones dadas.

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Ejemplos:

a) Determinar el mcm

de  15x^2y^2z;  24xy^2z;  36y^4z^2

-> mcm de los coeficientes:

15|24|36|   3|

05|08|12|  2|

05|04|06| 2|

05|02|03| 2|

05|01|03|  3|

05|01| 01|  5|

01 |01| 01|–|

–> el mcm es (3)(2)(2)(2)(3)(5) = (2^3)(3^2)(5)= (8)(9)(5) =360 

-> Los factores comunes y no comunes de mayor exponente son x^2 y^4 z^2

–> El mcm de todos las expresiones es  360x^2 y^4 z^2   Solución

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b) Encuentra el mcm de

4m^2+8m-12;  2m^2-6m+4;  6m^2+18m-24

-> Como son trinomios primero se factorizan:

4m^2 +8m -12  =  4(m^2 +2m -3) = 4(m+3)(m-1)

2m^2 -6m +4     = 2(m^2 -3m +2)   = 2(m-2)(m-1)

6m^2 +18m -24 = 6(m^2 +3m -4)  = 6(m+4)(m-1)

-> El mcm de los coeficientes es

4|2|6|   2|

2| 1|3|  2|

1| 1|3|  3|

1| 1| 1| –|  –> El mcm es (2^2)(3) = (4)(3) = 12

-> El mcm de los factores comunes y no comunes

es  (m+3)(m-2)(m+4)(m-1)

–> El mcm de los trinomios es 12(m+3)(m-2)(m-1)(m+4) Solución.

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Ejercicio 52 del Libro

Determina el mcm de las siguientes expresiones:

1) 35x^2y^3z^4;  42x^2y^4z^4;  70x^2y^5z^2

-> El mcm de los coeficientes es:

35|42|70|  7|

05|06|10|  5|

01|06|02|  2|

01|03| 01|  3|

01| 01| 01|–|

–> El mcm de los coeficientes es = (7)(5)(2)(3)= 210

-> El mcm de los factores comunes y no comunes es = x^2 y^5 z^4

–> El mcm de las expresiones dadas es 210x^2 y^5 z^4 Solución.

_________________________________________

2)  72m^3y^4;  96m^2y^2;  120m^4y^5

-> El mcm de los coeficientes es

72|96|120|  2|

36|48| 60|   2|

18| 24| 30|   2|

09| 12| 15 |   3|

03| 04| 05|  2|

03| 02| 05|  2|

03| 01| 05|  3|

01| 01| 05|   5|

01| 01| 01| — |

-> El mcm de 72,96 y 120 es = (2^5)(3^2)(5) = (32)(9)(5) = 1440

-> El mcm de los factores comunes y no comunes es  m^4 y^5

–> El mcm de las expresiones dadas es = 1440 m^4 y^5

________________________________________

3)  4x^2 y,  8x^3 y^2;  2x^2 yz;  10xy^3 z^2

-> El mcm de los coeficientes es:

4|8|2|10|  2|

2|4|1|05|  2|

1 |2|1|05|  2|

1 | 1|1|05|  5|

1 | 1| 1| 1| — |

-> El mcm de los coeficientes es = (2^3)(5) = (8)(5) = 40

-> El mcm de factores comunes y no comunes es = x^3 y^3 z^2

–> El mcm de las cuatro expresiones es = 40x^3 y^3 z^2

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4)  39a^2bc;  52ab^2c;  78abc^2

-> El mcm de los coeficientes es:

39|52|78| 13|

03|04|06|  3|

01 |04|02|  2|

01 |02|01 |  2|

01 |01|01 | — |

-Z El mcm de los coeficientes es = (13)(3)(2^2) = (13)(3)(4) = 156

-> El mcm de los factores comunes y no es=  a^2 b^2 c^2

–> El mcm de las expresiones dadas es = 156a^2 b^2 c^2  Solución.

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Máximo Común Divisor.


Es el término o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas.

Procedimiento:

1) Se encuentra el máximo común divisor de los coeficientes de todas las expresiones dadas.

2) Se encuentra el factor en común que tengan las expresiones dadas y se utiliza el de menor exponente.

3) El MCD de los coeficientes y de las letras encontrado se multiplican o se indican y ese será el MCD de las expresiones dadas.

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Ejemplos:

a) Encuentra el MCD de  15x^2 y^2 z , 24xy^2 z , 36y^4 z^2

-> El MCD de 15, 24 y 36 es

 15 | 24 | 36|  3 | –> Este es el único número primo que divide exactamente a los tres

05 | 08 | 12 |              coeficientes.   el  5, 8 y 12 , no tienen ningún número común que                                            los divida exactamente; por lo que únicamente el 3 es el MCD.

->Los factores comunes de mayor exponente de las expresiones son:  y^2 z

–> El MCD de todas las expresiones es 3y^2z

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b) Encuentra el MCD de 4m^2+8m-12 , 2m^2-6m+4, 6m^2+18m-24.

-> El MCD de los coeficientes y el factor común de menor exponente de todas expresiones es:

— Se factorizan las expresiones para encontrar el MCD

4m^2+8m-12 = 4(m^2 +2m -3) = 4(m+3)(m-1)

2m^2-6m+4   = 2(m^2 -3m +2) = 2(m-2)(m-1)

6m^2+18m-24 = 6(m^2 +3m -4) = (m+4)(m-1)

-> El MCD de los coeficientes es:

4| 2| 6|   2|    El MCD es:  2

2| 1| 3|     |

–> El MCD de todas las expresiones es : 2(m-1)

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Ejercicio 52 del Libro.

Determina el máximo común divisor de las siguientes expresiones:

1) 35 x^2 y^3 z^4 , 42x^2 y^4 z^4 , 70x^2 y^5 z^2

El MCD de los coeficientes es:
35|42|70|   7|

05|06|10|      –> el MCD de los coeficientes  es  7

-> El factor común de menor exponente de todas expresiones es:

x^2 y^3 z^2

–> el MCD de las tres expresiones es: 7x^2 y^3 z^2  Solución.

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2) 72m^3y^3z^4 , 96m^2y^2 , 120m^4y^5

-> El MCD de los coeficientes es:
72|96|120|   2|

36|48| 60|    2|

18| 24| 30|   2|

09| 12|  15|   3|     –> el MCD es : (2)(2)(2)(3) = 24

03| 04| 05|   |

-> El factor común de las letras con su menor exponente es: m^2 y^2

–> El MCD de las tres expresiones es: 24 m^2 y^2  Solución. 

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3) 4x^2 y , 8x^3 y^2 , 2x^2 yz , 10xy^3 z^2

-> MCD de los coeficientes es

4|8|2|10|   2|

2| 4| 1|05|      |       ->> el MCD es  2

-> El factor común de los monomios o letras con su menor exponente es:xy

–> El MCD de las cuatro expresiones es: 2xy   Solución.

En este caso no se incluye la “z” porque no es común en las tres expresiones.

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4)  39a^2bc , 52ab^2c , 78abc^2

-> El MCD de los coeficientes es

39|52|78|   13|

03|04|06|      |     –> El MCD es  13

-> El factor común de las letras con menor exponente es:  abc

–> El MCD de las tres expresiones es  13abc   Solución.

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