Interpolación de medios geométricos.


Consiste e encontrar un cierto número de términos ubicados entre el primero y último término, para formar una progresión geométrica.

Procedimiento:

1) Identificar los datos del problema.

2) Determinar la razón geométrica por medio de su fórmula.

3) Calcular los medios geométricos utilizando la razón.

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Ejemplos:

a) Interpolar 4 medios geométricos en la progresión ÷÷ -3, … , 96.

–> Datos:   = -3   ;     = 96   ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> Determinando la razón por su fórmula:

–> Calculando los 4 medios:

-3, -3(-2), 6(-2), -12(-2), 24(-2), -48(-2).

-3,      6    ,  – 12  ,     24    ,    -48   ,    96.

–> Los medios geométricos interpolados son:  6, -12, 24  y  -48.

__________________________________________________

b) Interpolar 5 medios geométricos en la progresión ÷÷ 16, … , 1/256.

–> Datos:   = 16   ;     = 1/256   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–> Calculando los 5 medios:

16, 16(1/4), 4(1/4), 1(1/4), (1/4)(1/4), (1/16)(1/4), (1/64)(1/4).

16,      4      ,     1      ,    1/4   ,      1/16      ,      1/64       ,    1/256.

–> Los medios geométricos interpolados son:  4, 1 , 1/4 , 1/16  y  1/64.

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Ejercicio 158 del Libro.

Realiza la interpolación de los medios geométricos que se indican:

1) Cinco medios geométricos entre 1/2  y  32.

–> Datos:   = ½   ;     = 32   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–> ½ , ½(2) , 1(2) , 2(2) , 4(2) , 8(2) , 16(2).

–> ½ ,     1    ,     2   ,    4    ,    8   ,   16   ,    32.

–> Los medios geométricos interpolados son:  1, 2, 4, 8  y  16.

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2) Tres medios geométricos entre 12  y  4/27.

–> Datos:  = 12   ;     = 4/27   ;    n= 2 +3 = 5   ;   r = ?

–> 

–> 12, 12(1/3) , 4(1/3) , (4/3)(1/3) , (4/9)(1/3).

–> 12,       4      ,     4/3   ,         4/9      ,      4/27.

–> Los medios geométricos interpolados son:  4,  4/3  y   4/9.

___________________________________________________

3)  Cuatro medios interpolados entre  -3  y  -96.

–>  = -3   ;     = -96   ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> 

–> -3 , -3(2) , -6(2) , -12(2)  , -24(2) , -48(2).

–> -3,     -6    ,   -12  ,     -24    ,    -48   ,    -96.

–> Los medios geométricos interpolados son:  -6, -12, -24   y  -48.

____________________________________________________

4) Cinco medios geométricos entre 1½  y  6144.

–> Datos:  = 1½ = 3/2   ;     = 6144   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–>  3/2, 3/2(4) , 6(4) , 24(4) , 96(4) , 384(4), 1536(4).

–>  3/2,      6      ,  24   ,    96     ,  384  ,  1536   ,  6144.

–> Los medios geométricos interpolados son:   6,  24,  96,  384  y   1536.

___________________________________________________

6)  Cuatro medios geométricos entre     y   .

–>  = ½   ;     =    ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> 

–> 1/2,  (1/2)(4/3) , (2/3)(4/3 , (8/9)(4/3) , (32/27)(4/3) ,  (128/81)(4/3)

–> 1/2,        2/3        ,       8/9      ,      32/27     ,      128/81       ,     512/243.

–> Los medios geométricos interpolados son:  2/3 ,  8/9  ,  32/27  ,  128/81.

_____________________________________________________

 

 

Suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica.


Para determinar la suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica es necesario conocer el primer término, el número de términos y la razón.

Cuando falta el valor de uno de los elementos necesarios, pero nos dan el valor de la suma; se debe encontrar el valor que falta utilizando la fórmula de la Suma.

La fórmula de la Suma de una progresión geométrica es:

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Procedimiento:

1) Identificar los elementos de la progresión.

2) Cuando nos falta el valor de uno de los elementos, pero nos dan el valor de la suma; se debe encontrar el valor que falta mediante la fórmula de la Suma.

3) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula de la Suma.

4) Efectuar las operaciones indicadas y simplificar para encontrar la solución.

_______________________________________________

Ejemplos:

a) Determinar la suma de los primeros 8 términos de la progresión ÷÷ 4/3, 2, 3, …

–> Identificando los elementos de la progresión:

 = 4/3   ;  n = 8  ;  r = 2 ÷ 4/3 = 3/2    ;   S= ?

–> Sustituyendo el valor de cada elemento en la fórmula de S. :

–> Efectuando operaciones y simplificando:

   Solución.

_____________________________________

b)  Encuentra el primer término de una progresión aritmética, cuya suma de los primeros 10 términos es 341 y la razón es -2.

–> Identificando los elementos de la progresión:

n = 10  ;  r = -2    ;   S= 341   ;    = ?

–> Sustituyendo el valor de los elementos en la fórmula de S.:

–> Efectuando operaciones y simplificando:

   Solución.

_______________________________________________

Ejercicio 155 del Libro.

Encuentra la suma de los primeros términos que se indican en las siguientes progresiones:

1) Seis términos de ÷÷ -9, -3, -1, …

–>   = -9   ;  n = 6  ;  r = -3 ÷ -9 = 1/3    ;   S= ?

–> 

  Solución.

________________________________________________

2) Siete términos de ÷÷ 3/2, 1, 2/3, …

–>   = 3/2   ;   n = 7  ;    r = 1 ÷ 3/2 = 2/3    ;   S= ?

–> 

   Solución.

_______________________________________________

3)  Nueve términos de la progresión ÷÷ -5, 10, -20, …

–>   = -5   ;   n = 9  ;    r = 10 ÷ -5 = -2    ;   S= ?

–> 

  Solución.

_________________________________________________

5) Quince términos de la progresión ÷÷ 1/8, 1/4, 1/2, …

–>   = 1/8   ;   n = 15  ;    r = 1/4 ÷ 1/8 = 2    ;   S= ?

–> 

  Solución.

_________________________________________________

 

Fórmulas para obtener el Primer Término, Número de Términos y Razón.


Procedimiento:

1) Identificar los elementos que están dados en el problema, para aplicar la fórmula que corresponda al elemento a obtener.

2) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula correspondiente al elemento a obtener.

3) Efectuar las operaciones indicadas, simplificar para obtener el valor buscado.

_________________________________________________

Fórmulas :

Primer Término:                  

Razón:                                         

Número de Términos:        

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Ejemplos:

a) En una progresión geométrica la razón es 1/2 y el 8º término es 1/8.  Calcular el 1º término.

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1/8   ,    r = 1/2   ,   n = 8   ,    = ?

–> Sustituyendo los valores en fórmula del primer término () para encontrar su valor:

    Solución.

______________________________________

b) ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica, cuyo 1º  y  7º término es  1/5  y  3125 respectivamente?

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1/5    ,   = 3125   ,     n = 7   ,    r = ?  

–> Sustituyendo los valores en la fórmula de la razón (r):

   Solución.

______________________________________

c) ¿De cuántos términos esta formada la siguiente progresión geométrica  ÷÷ 1, 2, … , 512.

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1    ,   = 512   ,     r = 2 ÷ 1 = 2   ,   n = ?   

–> Sustituyendo los valores en la fórmula del número de términos (n):

     Solución.

_________________________________________________

Ejercicio 153 del Libro.

Dados algunos elementos de una progresión geométrica, halla el elemento que se pide:

19)  El 1er. término , si la razón es 1/2 y el 6º término es 1/16 .

–>  = 1/16   ,    r = 1/2   ,   n = 6   ,    = ?

–> 

   Solución.

__________________________________________________

20) El 2º término, si su razón es -2 y el 7º término es -128.

–>  = -128   ,    r = -2   ,   n = 7-1=6   ,    = ?

–> 

   Solución.

En este caso “n” es igual a 7-1, porque para los cálculos no partimos del primer término sino del segundo.

La fórmula para todos los términos que estén antes del enésimo término será la misma del primer término.

__________________________________________________

21) La razón, si el primer término es 3/5 y el 5º término es 1/135.

–>  = 3/5    ,   = 1/135   ,     n = 5   ,    r = ?

–> 

   Solución.

___________________________________________________

23) El número de términos de la progresión geométrica ÷÷ -2, -6, …, -162

–>  = -2    ,   = -162   ,     r = -6 ÷ -2 = 3   ,   n = ?

–> 

    Solución.

________________________________________________

24) El número de términos, si la razón es 2/5, el primer término es 1/2 y el último término es 64/78125.

–>  = 1/2    ,   = 64/78125   ,     r = 2/5   ,   n = ?

–> 

   Solución.

_________________________________________________

Fórmula para obtener el enésimo término en una progresión geométrica.


Procedimiento:

1) Identificar los elementos que están en la progresión y el o los que falten.

2) Sustituir los valores en la fórmula del enésimo término.

3) Efectuar las operaciones para determinar el valor del enésimo término.

_________________________________________________

Fórmula para el enésimo término:  

_________________________________________________

Ejemplos:

a) Determina el 9º término de la progresión ÷÷ 10, 20, 40, …

–> Identificando los elementos de la progresión:

 = 10   ,   n = 9   ,   r= 20÷10 = 2   ,    = ?

–> Sustituyendo valores en la fórmula de :

   Solución.

_______________________________________

b) Determinar el 7º término de la progresión ÷÷ 200, 100, 50, …

–> identificando los elementos de la progresión:

 = 200   ,   n = 7   ,   r= 100÷200 = ½   ,    = ?

–> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

   Solución.

________________________________________________

Ejercicio 153 del Libro.

Determina el término que se indica en cada una de las siguientes progresiones geométricas:

7) El 6º término de ÷÷ 1/3, -1, 3, …

 = 1/3   ,   n = 6   ,   r= -1÷1/3 = -3   ,   =  = ?

   Solución.

_________________________________________________

8) El 9º término de ÷÷ 3/2, 1, 2/3 , …

 = 3/2   ,   n = 9   ,   r= 1 ÷ 3/2 = 2/3   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

9) El 5º término de ÷÷ -5, 10, -20, …

 = -5   ,   n = 5   ,   r= 10 ÷ -5 = -2   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

10) El 7º término de ÷÷ 2.5, 5/4, 5/8, …

 = 2.5 = 5/2   ,   n = 7   ,   r= 5/4 ÷ 5/2 = 1/2   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

11) El 10º término de ÷÷ -9, -3, -1, …

 = -9   ,   n = 10   ,   r= -3 ÷ -9 = 1/3   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

Progresión Geométrica.


Es una sucesión geométrica (÷÷) en la que para todo número real existe una constante “r”  diferente de cero.

Cuando se conocen algunos términos sucesivos, la razón geométrica se calcula dividiendo un término entre su anterior. Cuando no, entonces se utiliza la fórmula para “r”.

Para encontrar el siguiente término se multiplica la razón por el anterior, y así sucesivamente hasta encontrar los términos necesarios.

Fórmulas para encontrar los elementos en una progresión geométrica ÷÷ :

Razón Geométrica:                                       

Enésimo Término:                  

Primer Término:                      

Número de Términos:                           

En publicaciones posteriores presentaré procedimiento, ejemplos y ejercicios de la aplicación de cada una de las fórmulas.

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Ejemplos de sucesiones geométricas:

Determina cuál de las siguientes sucesiones es progresiva:

a) 1, 4, 16, 64 ...

  Razón común.

Comprobando la sucesión:

1(4) = 4    ,  4(4)=16  ,  4(4)=64  Si es sucesión geométrica

____________________________________

b) 2, 1, ½, ¼ …

r = 1 ÷ 2 = ½    Razón común.

Comprobando la sucesión:

2(½)= 1   ,    1(½)= ½   ,    ½(½)= ¼  Si es sucesión geométrica

____________________________________

c) 3, 9, 25, 81 …

r = 9 ÷ 3 = 3  Razón.

Comprobando la sucesión:

3(3)=9  SI ,   9(3)=27   NO ,   25(3)=75  NO

No es sucesión geométrica porque no todos los términos se pueden obtener al multiplicar por la razón resultante.

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Ejercicio 153 el Libro.

De las siguientes sucesiones determina cuáles son geométricas:

1) 

  Razón común

–>  1(2)=2   ,   2(2)=4 ,

Si es progresión geométrica.

________________________________________________

2)  

  Razón Común.

–>          ;   

Si es progresión geométrica.

_________________________________________________

5)  1³, 2³, 3³, … , n³

=  1,8,27, … ,n³

r = 8÷ 1 = 8  Razón

–>  1(8)=8  ,  8(8)=64

No es sucesión geométrica porque el tercer término (27) no se obtuvo con el uso de la razón resultante.

_______________________________________________.

 

Interpolación de medios aritméticos.


Medios aritméticos son los términos que se encuentran entre el primer término y el último término y dependen directamente del valor de la razón(r).

El número de términos será igual a los términos interpolados más el 1º y ultimo términos dados.

Procedimiento:

1) Identifica los elementos de la progresión aritmética.

2) Busca o encuentra el valor de la Razón (r).

3) Partiendo del primer término de la progresión calcula el valor del segundo término, sumando al primero el valor de la razón; luego calcula el valor del tercer término, sumando al segundo el valor de la razón; y así sucesivamente, hasta completar los medios a interpolar.

4) Escribe la progresión aritmética completa y luego por separado escribe los medios interpolados.

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Ejemplos:

a) Interpola 4 medios aritméticos entre 5 y 32.5

->  Identificando los elementos de la progresión:

 = 5   ;    = 32.5   ;   n = 4 +2 = 6    ;    r = ?

->  Buscando el valor de la razón:

   Razón.

-> Calculando y determinando los medios aritméticos:

÷ 5, (5+5.5), (10.5+5.5), (16+5.5), (21.5+5.5), (27+5.5).

÷ 5, 10.5, 16, 21.5, 27, 32.5

Los medios interpolados son  10.5 , 16 , 21.5 , 27. 

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b) Interpola 5 medios entre 11 y -13.

->  Identificando los elementos de la progresión:

 = 11   ;    = -13   ;   n = 5 +2 = 7    ;    r = ?

-> Buscando el valor de la razón:

   Razón (r)

-> Calculando y determinando los medios aritméticos:

÷ 11, (11-4), (7-4), (3-4), (-1-4), (-5-4), (-9-4).

÷ 11, 7, 3, -1, -5, -9, -13.

Los medios interpolados son:  7, 3, -1, -5, -9.

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Ejercicio 151 del Libro.

3) Interpola 6 medios aritméticos entre 2/3 y 3.

->   = 2/3   ;    = 3   ;   n = 6 +2 = 8    ;    r = ?

   Razón.

-> 

Los medios interpolados son: 

_______________________________________________

4) Interpola 7 medios aritméticos entre 0.5 y 8 1/2

->   = 0.5 =1/2   ;    = 8 1/2   ;   n = 7+2 = 9    ;    r = ?

  Razón (r).

-> 

Los medios interpolados son: 

________________________________________________

6) Interpola 3 medios aritméticos entre 1/3  y 7/3

->   = 1/3   ;    = 7/3   ;   n = 3+2 = 5    ;    r = ?

   Razón (r)

->  

Los medios interpolados son: 

________________________________________________

Suma de los primeros “n” términos de una progresión aritmética.


Para encontrar la suma de los primeros “n” términos de una progresión aritmética es necesario conocer el primero y el enésimo término, el número de términos, y además de la razón.

Conociendo el enésimo término sabremos el número de términos.

Dependiendo de lo que nos haga falta en los datos del problema dado, se aplica la fórmula respectiva para encontrar su valor. (Primer término, enésimo término, razón o, número de términos)

La fórmula a aplicar para la suma es:

Procedimiento:

1) Se identifican los elementos de la progresión aritmética para sustituir su valor en la fórmula de la Suma.

2) Aplicar la fórmula respectiva para encontrar el valor del elemento que hace falta.

3) Aplicar la fórmula de la Suma, sustituyendo los valores necesarios.

4) Efectuar las operaciones y simplificaciones para llegar a la Solución.

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Ejemplos:

a) Determinar la suma de los primeros 12 términos de la progresión aritmética ÷ 2, 7, 12, …

-> Identificando los elementos de la progresión:

 = 2      ;       n = 12     ;   r = 7-2 = 5     ;       =  = ?

-> Buscando el valor del enésimo término:

 = 2 + (12-1)5

 = 2 + (11)(5)

 = 2 + 55 = 57   Enésimo término.

-> Determinando la suma de los primeros 12 términos:

   Solución.

__________________________________

b) Encontrar la suma de los 15 primeros términos de la progresión aritmética ÷ 19/3, 17/3, 5, …

-> Identificando los elementos de la progresión:

 = 19/3      ;       n = 15     ;   r = 17/3 – 19/3 = -2/3     ;       =  = ?

-> Buscando el valor del enésimo término:

   Enésimo término.

-> Determinando la suma de los primeros 15 términos:

   Solución.

____________________________________

Ejercicio 149 del Libro.

1) ¿Cuál es la suma de los primeros 8 términos de ÷1, 7, 13,  ….?

->   = 1      ;       n = 8     ;   r = 7 – 1 = 6     ;       =  = ?

 = 1 + (8-1)6

 = 1 + (7)(6)

 = 1 + 42 = 43   Enésimo término.

->

   Solución.

________________________________________________

3) Determinar la suma de los 8 términos que corresponden a la progresión ÷3, 13/4, 7/2, …

->   = 3      ;        n = 8    ;     r = 13/4 – 3 = 1/4     ;        =  = ?

->  

   Enésimo término.

->  

   Solución.

________________________________________________

8) ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión ÷1000, 988, …, -188?

->   = 1000     ;        = –188      ;     r = 988 -1000 = -12     ;      n = ?

->  

   Número de términos.

->  

  Solución.

___________________________________________________

10) Encuentra la suma de los términos de la progresión ÷2, 4, 6, …, 2n.

->   = 2     ;        = 2n      ;     r = 4-2 = 2     ;      n = ?

->  

   Número de términos.

-> 

  Solución.

_________________________________________________