Fórmulas para obtener el Primer Término, Número de Términos y Razón.


Procedimiento:

1) Identificar los elementos que están dados en el problema, para aplicar la fórmula que corresponda al elemento a obtener.

2) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula correspondiente al elemento a obtener.

3) Efectuar las operaciones indicadas, simplificar para obtener el valor buscado.

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Fórmulas :

Primer Término:                  

Razón:                                         

Número de Términos:        

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Ejemplos:

a) En una progresión geométrica la razón es 1/2 y el 8º término es 1/8.  Calcular el 1º término.

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1/8   ,    r = 1/2   ,   n = 8   ,    = ?

–> Sustituyendo los valores en fórmula del primer término () para encontrar su valor:

    Solución.

______________________________________

b) ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica, cuyo 1º  y  7º término es  1/5  y  3125 respectivamente?

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1/5    ,   = 3125   ,     n = 7   ,    r = ?  

–> Sustituyendo los valores en la fórmula de la razón (r):

   Solución.

______________________________________

c) ¿De cuántos términos esta formada la siguiente progresión geométrica  ÷÷ 1, 2, … , 512.

–> Identificando los elementos del problema:

 = 1    ,   = 512   ,     r = 2 ÷ 1 = 2   ,   n = ?   

–> Sustituyendo los valores en la fórmula del número de términos (n):

     Solución.

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Ejercicio 153 del Libro.

Dados algunos elementos de una progresión geométrica, halla el elemento que se pide:

19)  El 1er. término , si la razón es 1/2 y el 6º término es 1/16 .

–>  = 1/16   ,    r = 1/2   ,   n = 6   ,    = ?

–> 

   Solución.

__________________________________________________

20) El 2º término, si su razón es -2 y el 7º término es -128.

–>  = -128   ,    r = -2   ,   n = 7-1=6   ,    = ?

–> 

   Solución.

En este caso “n” es igual a 7-1, porque para los cálculos no partimos del primer término sino del segundo.

La fórmula para todos los términos que estén antes del enésimo término será la misma del primer término.

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21) La razón, si el primer término es 3/5 y el 5º término es 1/135.

–>  = 3/5    ,   = 1/135   ,     n = 5   ,    r = ?

–> 

   Solución.

___________________________________________________

23) El número de términos de la progresión geométrica ÷÷ -2, -6, …, -162

–>  = -2    ,   = -162   ,     r = -6 ÷ -2 = 3   ,   n = ?

–> 

    Solución.

________________________________________________

24) El número de términos, si la razón es 2/5, el primer término es 1/2 y el último término es 64/78125.

–>  = 1/2    ,   = 64/78125   ,     r = 2/5   ,   n = ?

–> 

   Solución.

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Fórmula para obtener el enésimo término en una progresión geométrica.


Procedimiento:

1) Identificar los elementos que están en la progresión y el o los que falten.

2) Sustituir los valores en la fórmula del enésimo término.

3) Efectuar las operaciones para determinar el valor del enésimo término.

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Fórmula para el enésimo término:  

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Ejemplos:

a) Determina el 9º término de la progresión ÷÷ 10, 20, 40, …

–> Identificando los elementos de la progresión:

 = 10   ,   n = 9   ,   r= 20÷10 = 2   ,    = ?

–> Sustituyendo valores en la fórmula de :

   Solución.

_______________________________________

b) Determinar el 7º término de la progresión ÷÷ 200, 100, 50, …

–> identificando los elementos de la progresión:

 = 200   ,   n = 7   ,   r= 100÷200 = ½   ,    = ?

–> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

   Solución.

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Ejercicio 153 del Libro.

Determina el término que se indica en cada una de las siguientes progresiones geométricas:

7) El 6º término de ÷÷ 1/3, -1, 3, …

 = 1/3   ,   n = 6   ,   r= -1÷1/3 = -3   ,   =  = ?

   Solución.

_________________________________________________

8) El 9º término de ÷÷ 3/2, 1, 2/3 , …

 = 3/2   ,   n = 9   ,   r= 1 ÷ 3/2 = 2/3   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

9) El 5º término de ÷÷ -5, 10, -20, …

 = -5   ,   n = 5   ,   r= 10 ÷ -5 = -2   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

10) El 7º término de ÷÷ 2.5, 5/4, 5/8, …

 = 2.5 = 5/2   ,   n = 7   ,   r= 5/4 ÷ 5/2 = 1/2   ,   =  = ?

  Solución.

_________________________________________________

11) El 10º término de ÷÷ -9, -3, -1, …

 = -9   ,   n = 10   ,   r= -3 ÷ -9 = 1/3   ,   =  = ?

  Solución.

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Progresión Geométrica.


Es una sucesión geométrica (÷÷) en la que para todo número real existe una constante “r”  diferente de cero.

Cuando se conocen algunos términos sucesivos, la razón geométrica se calcula dividiendo un término entre su anterior. Cuando no, entonces se utiliza la fórmula para “r”.

Para encontrar el siguiente término se multiplica la razón por el anterior, y así sucesivamente hasta encontrar los términos necesarios.

Fórmulas para encontrar los elementos en una progresión geométrica ÷÷ :

Razón Geométrica:                                       

Enésimo Término:                  

Primer Término:                      

Número de Términos:                           

En publicaciones posteriores presentaré procedimiento, ejemplos y ejercicios de la aplicación de cada una de las fórmulas.

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Ejemplos de sucesiones geométricas:

Determina cuál de las siguientes sucesiones es progresiva:

a) 1, 4, 16, 64 ...

  Razón común.

Comprobando la sucesión:

1(4) = 4    ,  4(4)=16  ,  4(4)=64  Si es sucesión geométrica

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b) 2, 1, ½, ¼ …

r = 1 ÷ 2 = ½    Razón común.

Comprobando la sucesión:

2(½)= 1   ,    1(½)= ½   ,    ½(½)= ¼  Si es sucesión geométrica

____________________________________

c) 3, 9, 25, 81 …

r = 9 ÷ 3 = 3  Razón.

Comprobando la sucesión:

3(3)=9  SI ,   9(3)=27   NO ,   25(3)=75  NO

No es sucesión geométrica porque no todos los términos se pueden obtener al multiplicar por la razón resultante.

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Ejercicio 153 el Libro.

De las siguientes sucesiones determina cuáles son geométricas:

1) 

  Razón común

–>  1(2)=2   ,   2(2)=4 ,

Si es progresión geométrica.

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2)  

  Razón Común.

–>          ;   

Si es progresión geométrica.

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5)  1³, 2³, 3³, … , n³

=  1,8,27, … ,n³

r = 8÷ 1 = 8  Razón

–>  1(8)=8  ,  8(8)=64

No es sucesión geométrica porque el tercer término (27) no se obtuvo con el uso de la razón resultante.

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Interpolación de medios aritméticos.


Medios aritméticos son los términos que se encuentran entre el primer término y el último término y dependen directamente del valor de la razón(r).

El número de términos será igual a los términos interpolados más el 1º y ultimo términos dados.

Procedimiento:

1) Identifica los elementos de la progresión aritmética.

2) Busca o encuentra el valor de la Razón (r).

3) Partiendo del primer término de la progresión calcula el valor del segundo término, sumando al primero el valor de la razón; luego calcula el valor del tercer término, sumando al segundo el valor de la razón; y así sucesivamente, hasta completar los medios a interpolar.

4) Escribe la progresión aritmética completa y luego por separado escribe los medios interpolados.

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Ejemplos:

a) Interpola 4 medios aritméticos entre 5 y 32.5

->  Identificando los elementos de la progresión:

 = 5   ;    = 32.5   ;   n = 4 +2 = 6    ;    r = ?

->  Buscando el valor de la razón:

   Razón.

-> Calculando y determinando los medios aritméticos:

÷ 5, (5+5.5), (10.5+5.5), (16+5.5), (21.5+5.5), (27+5.5).

÷ 5, 10.5, 16, 21.5, 27, 32.5

Los medios interpolados son  10.5 , 16 , 21.5 , 27. 

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b) Interpola 5 medios entre 11 y -13.

->  Identificando los elementos de la progresión:

 = 11   ;    = -13   ;   n = 5 +2 = 7    ;    r = ?

-> Buscando el valor de la razón:

   Razón (r)

-> Calculando y determinando los medios aritméticos:

÷ 11, (11-4), (7-4), (3-4), (-1-4), (-5-4), (-9-4).

÷ 11, 7, 3, -1, -5, -9, -13.

Los medios interpolados son:  7, 3, -1, -5, -9.

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Ejercicio 151 del Libro.

3) Interpola 6 medios aritméticos entre 2/3 y 3.

->   = 2/3   ;    = 3   ;   n = 6 +2 = 8    ;    r = ?

   Razón.

-> 

Los medios interpolados son: 

_______________________________________________

4) Interpola 7 medios aritméticos entre 0.5 y 8 1/2

->   = 0.5 =1/2   ;    = 8 1/2   ;   n = 7+2 = 9    ;    r = ?

  Razón (r).

-> 

Los medios interpolados son: 

________________________________________________

6) Interpola 3 medios aritméticos entre 1/3  y 7/3

->   = 1/3   ;    = 7/3   ;   n = 3+2 = 5    ;    r = ?

   Razón (r)

->  

Los medios interpolados son: 

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Suma de los primeros “n” términos de una progresión aritmética.


Para encontrar la suma de los primeros “n” términos de una progresión aritmética es necesario conocer el primero y el enésimo término, el número de términos, y además de la razón.

Conociendo el enésimo término sabremos el número de términos.

Dependiendo de lo que nos haga falta en los datos del problema dado, se aplica la fórmula respectiva para encontrar su valor. (Primer término, enésimo término, razón o, número de términos)

La fórmula a aplicar para la suma es:

Procedimiento:

1) Se identifican los elementos de la progresión aritmética para sustituir su valor en la fórmula de la Suma.

2) Aplicar la fórmula respectiva para encontrar el valor del elemento que hace falta.

3) Aplicar la fórmula de la Suma, sustituyendo los valores necesarios.

4) Efectuar las operaciones y simplificaciones para llegar a la Solución.

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Ejemplos:

a) Determinar la suma de los primeros 12 términos de la progresión aritmética ÷ 2, 7, 12, …

-> Identificando los elementos de la progresión:

 = 2      ;       n = 12     ;   r = 7-2 = 5     ;       =  = ?

-> Buscando el valor del enésimo término:

 = 2 + (12-1)5

 = 2 + (11)(5)

 = 2 + 55 = 57   Enésimo término.

-> Determinando la suma de los primeros 12 términos:

   Solución.

__________________________________

b) Encontrar la suma de los 15 primeros términos de la progresión aritmética ÷ 19/3, 17/3, 5, …

-> Identificando los elementos de la progresión:

 = 19/3      ;       n = 15     ;   r = 17/3 – 19/3 = -2/3     ;       =  = ?

-> Buscando el valor del enésimo término:

   Enésimo término.

-> Determinando la suma de los primeros 15 términos:

   Solución.

____________________________________

Ejercicio 149 del Libro.

1) ¿Cuál es la suma de los primeros 8 términos de ÷1, 7, 13,  ….?

->   = 1      ;       n = 8     ;   r = 7 – 1 = 6     ;       =  = ?

 = 1 + (8-1)6

 = 1 + (7)(6)

 = 1 + 42 = 43   Enésimo término.

->

   Solución.

________________________________________________

3) Determinar la suma de los 8 términos que corresponden a la progresión ÷3, 13/4, 7/2, …

->   = 3      ;        n = 8    ;     r = 13/4 – 3 = 1/4     ;        =  = ?

->  

   Enésimo término.

->  

   Solución.

________________________________________________

8) ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión ÷1000, 988, …, -188?

->   = 1000     ;        = –188      ;     r = 988 -1000 = -12     ;      n = ?

->  

   Número de términos.

->  

  Solución.

___________________________________________________

10) Encuentra la suma de los términos de la progresión ÷2, 4, 6, …, 2n.

->   = 2     ;        = 2n      ;     r = 4-2 = 2     ;      n = ?

->  

   Número de términos.

-> 

  Solución.

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Fórmulas para determinar el primer término, el número de términos y la razón, en una progresión aritmética.


Procedimiento:

1)  Identificar los elementos que están dados en el problema, para aplicar la fórmula que corresponda.

2) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula.

3) Efectuar las operaciones y después despejar la variable de la fórmula.

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Fórmulas:

Primer Término:  

Razón:     

Número de Términos:  

Enésimo Término

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Ejemplos:

a) Encontrar el primer término () de la progresión aritmética, si se sabe que el 13º término () es -28, y la razón es -6.

> Identificando los elementos dados:

= -28    ;    r = -6     ;    n = 13    ;       = ?

> Sustituyendo valores a la fórmula de   y despejando:

   Solución.

———————————————————

b) Determinar la razón de la progresión aritmética, cuyo primer término () es 6 y el 16º término () es 9.

> Identificando los elementos dados:

 = 6     ;      = 9     ;    n = 16    ;   r = ?

> Sustituyendo valores en la fórmula de “r” y despejando:

   Solución.

———————————————————-

c) ¿Cuál es el número de términos (n) que tiene la progresión aritmética ÷4.5 , 6.6 , … , 25.5?

> Identificando los elementos dados:

 = 4.5   ;    = 25.5   ;    r = 6.6 – 4.5 = 2.1     ;   n = ?

> Sustituyendo valores en la fórmula de “n”  y despejando:

     Solución.

_______________________________________________

Ejercicio 148 del Libro.

Dados algunos elementos de una progresión aritmética (÷), determinar el elemento que se pide.

17)  El primer término, si el 13º término es 67 y la razón es 5.

>   ? 67    ;    r = 5   ;    n = 13     ;    = ?

>  

   Solución.

_______________________________________________

18)  La razón, si el 1º término es 7 y el 10º es -11

 = 7    ;     = -11    ;   n = 10   ;   r = ?

>  

   Solución.

________________________________________________

19)  El número de elementos de  ÷120, 519, … , 3312

 = 120    ;     = 3312     ;    r = 519 – 129 = 399    ;   n = ?

>  

   Solución.

_______________________________________________

20)  La razón, si el 1º término es 2/3 y el 8º término es -13/12:

>   = 2/3   ;    = -13/12   ;   n = 8   ;   r = ?

>  

   Solución.

_______________________________________________

21) El 11º término, si el 3º es -4 y el 7º es -16:

En este caso que no conocemos el primer término ni la razón; se deben determinar el 3º termino y el 7º término. Los resultados darán dos ecuaciones lineales; en las cuales las incógnitas serán  y r. Estas ecuaciones debemos resolverlas para encontrar los valores de las incógnitas.  Para luego sustituir esos valores más los que ya teníamos, para encontrar el valor del 11º término que nos piden en el problema.

>Aplicando la fórmula para  = 

    (1ª ecuación)

> Aplicando la fórmula para  = 

   (2ª ecuación)

> Formando un sistema de 2 ecuaciones lineales para encontrar el valor de  y de “r”:

> Resolviendo el sistema por el método de reducción:

      (multiplicamos una ecuación por 1 y la otra por -1,

para poder eliminar una variable al sumar ambas)

> Sustituyendo el valor de “r” en la primera ecuación para encontrar el valor de 

> Identificando los valores encontrados y los que nos dieron en el problema:

     ;    r = -3     ;    n = 17    ;      n = 11    ;     = ?

 =  

> Sustituyendo los valores de los elementos en la fórmula del enésimo término () y despejando:

   Solución.

COMPROBACIÓN:

La progresión aritmética es:

÷ 2, -1, -4, -7, -10, -13, -16, -19, -22, -25, -28

.  ↓          ↓                        ↓                           ↓

.  1º        3º                      7º                         11º  término.

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22) El 1º término, si el 20º término es .62.5 y la razón es -2.5

   ;    r = -2.5   ;    n = 20   ;       ?

>   

>  

   Solución.

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Fórmula para encontrar el enésimo término en una progresión aritmética.


Para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética debemos conocer el Primer Término     ““; el Número de Términos “n” y la Razón “r”, en una progresión aritmética dada ().

La fórmula del Enésimo término es  

Procedimiento:

1) Identificar  ““, “n”, y “r” de la progresión dada.

2) Sustituir los valores identificados en la fórmula del enésimo término.

3) Efectuar operaciones y despejar la variable  , para encontrar la solución.

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Ejemplos:

a) Determinar el 8º término de la progresión 

> Identificando ““, “n”, y “r” de la progresión:

 = 1           n = 8          r = 4-1 = 3

> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

 = 1 + (8-1)3

 = 1 + (7)3

 = 1+21 = 22   Solución.

——————–

b) ¿Cuál es el 7º término en la progresión 

> Identificando ““, “n”, y “r” de la progresión:

 = 1/2           n = 7          r = 5/6 – 1/2 = 1/3

> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

 = 1/2 + (7-1)1/3

 = 1/2 + (6)1/3

 = 1/2 + 2 = 5/2   Solución.

——————–

c)  Determinar el 7º término en una progresión aritmética en donde el 3º término es 11 y el 9º término es 35.

Este caso es especial; en el cual encontraremos el enésimo término, formando dos ecuaciones con los valores conocidos, aplicando la fórmula:

Para el 3º término y su valor:

  (1)

Para el 9º término y su valor:

 (2)

> Despejamos como un sistema de dos ecuaciones con variables “a” y “r”. por el método de reducción.

> Aplicando método de reducción para encontrar la variable “r” y luego la variable :

 

.      

.        

> Sustituyendo el valor de “r” en la primera ecuación para encontrar el valor de  

.            

.            

> Conociendo el  =3 ,  “r” = 4  y “n” = 7 ; procedemos a encontrar el 7º término de la progresión aritmética:

   Solución.

La solución Aritmética sería ÷ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, …

.                                               ↓        ↓                     ↓          ↓

.                                               1º      3º                    7º        9º    término

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Ejercicio 148 del Libro.

Encuentra el término que se indica para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

7)  El 8º término en ÷2, 5, 8, …

 = 2      ;    n = 8      ;   r = 5 – 2 = 3

 = 2 +(8-1)3

 = 2 + (7)3

 = 2 + 21 = 23    Solución.

_______________________________________________

8)  El 11º término en ÷1, 5/4, 3/2, …

 = 1   ;    n = 11   ;   r = 5/4 – 1 = 1/4

 1 + (11-1) 1/4

 1 + (10) 1/4

 1 + 5/2 ) = 7/2   Solución.

_________________________________________________

9)  El 15º término en ÷-3/4, -1/12, 7/12, 5/4, …

 = -3/4   ;   n = 15   ;  r = -1/12 – (-3/4)=-1/12 +3/4 = 2/3

 -3/4 + /( 15 – 1) 2/3

 -3/4  + (14) 2/3

 -3/4 + 28/3 = 103/12   Solución.

__________________________________________________

10)  El 10º término en ÷ 1, 7, 13, …

 = 1   ;   n = 10   ;   r = 7 – 1 = 6

 1 + (10 – 1)6

 1 + (9)6

 1 + 54 = 55   Solución.

___________________________________________________

11)  El 16º término en ÷ 3, 13/4, 7/12, …

 = 3   ;   n = 16   ;   r = 13/4 – 3 = 1/4

 3 + (16 -1) 1/4

 3 + (15) 1/4

 3 + 15/4 )= 27/4   Solución.

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