Ecuaciones de 2º Grado por Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto.


Procedimiento:

1) Se trasladan los términos “x” a el primer miembro de la ecuación y/o términos constantes (números) al segundo miembro.

2) Se suman en ambos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coeficiente del 2º término del trinomio. (b/2)^2.

3) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto completado.

4) Se extrae la raíz cuadrada de la factorización, para encontrar el valor de las raíces. Ej. x+2=±3

5) Se despejan cada una de las raíces para encontrar el valor de x. ( , )

_______________________________________________

Ejemplos:

a) Resuelve x^2+4x+3=0

> Trasladando el término constante 3 al 2º miembro de la ecuación:

x^2+4x = -3

> Sumando el cuadrado de la mitad del 2º término a ambos miembros de la ecuación:

(4/2)^2 = 2^2 = 4

x^2+4x +4= -3+4

x^2+4x +4= 1

> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto completado:

(x+2)^2 = 1

> Extrayendo la raíz cuadrada de la factorización:

x+2 = √1

x+2 = ± 1

> Despejando las raíces:

x=-2+1=-1 –> =-1

x=-2-1 =-3 –> =-3

b) Determina las raíces de x^2-6x-27=0

> x^2-6x=27

> (6/2)^2 = 3^2 = 9

x^2-6x+9=27+9

x^2+6x+9=36

> (x-3)^2= 36

> x-3 = √36

x-3 = ± 6

>  x = 3+6 = 9 –>  = 9

.    x = 3 -6 =-3 –> =-3

c) Encuentra las raíces de  x^2-5x-6=0

> x^2-5x = 6

> (5/2)^2 = 25/4

x^2-5x +25/4 = 6 +25/4

x^2-54 +25/4 = 49/4

> (x- 5/2)^2 = 49/4

x -5/2 = √49/4

x-5/2 = ±7/2

x = 5/2 – 7/2 = -2/2 = -1 –>  =-1

x = 5/2 +7/2 = 12/2 = 6 –>   = 6

d) Determina las soluciones de x^2+4x+5=0

x^2 +4x = -5

> (4/2)^2 = 2^2 = 4

x^2 +4x +4 = -5 +4

x^2 +4x +4 = -1

> (x +2)^2 = -1

> x+2 = √-1

x+2 = ±i

>  x = -2-i  –>  =-2 –i

.    x = -2+i –>  =-2+i

e) Resuelve la ecuación 2x^2 +7x +3 = 0

> Por ser de la forma ax^2+bx+c=0, se divide la ecuación entre el coeficiente “a”, donde a>1.

2x^2/2 +7x/2 +3/2 = 0

2/2 x^2 +7/2 x +3/2 = 0

x^2 +7/2 x+3/2 =0

> x^2 +7/2x = -3/2

> (7/2 / 2)^2 = (7/4)^2 = 49/16

x^2 +7/2x +49/16 = -3/2+49/16

x^2 +7/2x +49/16 = 25/16

> (x + 7/4)^2 = 25/16

x + 7/4 = √25/16

x + 7/4 = ± 5/4

> x = -7/4 – 5/4 = -12/4 = -3 –>  = -3

.   x = -7/4 + 5/4 = -2/4 = -1/2 –>  =-1/2

_____________________________________________

Ejercicio 120 del libro.

Determina las raíces de las siguientes ecuaciones y completa el trinomio cuadrado perfecto, donde (x, y, z, w) son variables y (a, b) son constantes.

1) x^2 +5x +4 = 0

> x^2 +5x = -4

> (5/2)^2 = 25/4

x^2 +5x +25/4 = -4 +25/4

x^2 +5x +25/4 = 9/4

> (x + 5/2)^2 = 9/4

x +5/2 = √9/4

x +5/2 = ±3/2

> x = -5/2  -3/2 = -4 –>  = -4

.   x = -5/2 +3/2 = -1  –> = -1

___________________________________________

2) 6x-27 = -x^2

> x^2 +6x = 27

> (6/2)^2 = 3^2 = 9

x^2 +6x +9 = 27 +9

(x + 3)^2 = 36

> x +3 = √36

x +3 = ±6

> x = -3 -6 = -9 –>  = -9

.   x = -3 +6 =  3 –> =  3

____________________________________________

3) x^2+11x+30 = 0

> x^2 +11x = -30

> (11/2)^2 = 121/4

x^2 +11x +121/4 = -30 +121/4

x^2 +11x +121/4 = 1/4

> (x + 11/2)^2 = 1/4

x^2 +11/2 = √1/4

x^2 +11/2 = ±1/2

> x = -11/2 +1/2 = -10/2 = -5 –>  = -5

.   x = -11/2  -1/2 = -12/2 = -6 –>  = -6

___________________________________________

8) x^2 +8x= 240

> (8/2)^2 = 4^2 = 16

x^2 +8x +16 = 240 +16

x^2 +8x +16 = 256

> (x + 4)^2 = 256

x + 4 = √256

x + 4 = ±16

> x = -4 -16 = -20 –>  = -20

.   x = -4 +16 =  12 –>  =  12

____________________________________________

9)  2x +5 = -x^2 

> x^2+2x = -5

> (2/2)^2 = 1^2 = 1

x^2 +2x +1 = -5 +1

x^2 +2x +1 = -4

> (x + 1)^2 = -4

x + 1 = √4i

x + 1= ±2i

> x = -1  -2i   –>   -1 -2i

.   x = -1 +2i   –>  = -1 +2i

_____________________________________________

10)  3x^2 = x +2

> 3x^2 -x -2 = 0

3x^2 /3 – x/3 – 2/3 = 0

x^2 -1/3x = 2/3

> (1/3 /2)^2 = (1/6)^2 = 1/36

x^2 -1/3x +1/36 = 2/3 +1/36

x^2 -1/3x +1/36 = 25/36

> (x – 1/6)^2 = 25/36

x -1/6 = √25/36

x -1/6 = ± 5/6

> x = 1/6 -5/6 =-4/6 = -2/3 –>  = -2/3

.   x = 1/6 +5/6 = 6/6 =  1   –>  = 1

__________________________________________

13) -3x^2 +7x +6 = 0

> 3x^2 -7x -6 = 0

3x^2 /3 -7x/3 -6/3 = 0

x^2 -7/3x -2 = 0

> x^2 -7/3x = 2

(7/3 /2) ^2 = (7/6)^2 = 49/36

x^2 -7/3x +49/36 = 2 +49/36

x^2 -7/3x +49/36 = 121/36

> (x – 7/6)^2 = 121/36

x – 7/6 = √121/36

x -7/6 = ±11/6

> x = 7/6 -11/6 = -4/6 = -2/3 –>  = -2/3

.   x = 7/6 +11/6 = 18/6 =  3   –>    = 3

____________________________________________

14) 36x = 13 +36x^2

-36x^2 +36x -13 = 0

36x^2 /36 -36x/36 +13/36 = 0

x^2 -x +13/36 = 0

x^2 -x = -13/36

> (1/2)^2 = 1/4

x^2 -x +1/4= -13/36 +1/4

x^2 -x +1/4= -1/9

> (x – 1/2)^2 = -1/9

x -1/2 = √-1/9

x -1/2 = ±1/3i

> x = 1/2 -1/3i  –>  = 1/2 -1/3i

.   x = 1/2 +1/3i –>  = 1/2 +1/3i

__________________________________________