Desigualdad lineal con una variable.


Las desigualdades son conocidas también como Inecuaciones.  Es la relación de orden entre dos cantidades.

Se representan con los símbolos: (<) “menor que” ; (>) “mayor que” ; (≤) “menor o igual que” y (≥) “mayor o igual que”.

Procedimiento:

1. Despejar la variable de la desigualdad trasladando los términos con variable al lado izquierdo de la desigualdad y los términos independientes al otro lado.

2. Se reducen los términos semejantes en ambos miembros de la desigualdad.

3. Se simplifica los resultados hasta llegar a el resultado final o solución.

Recuerda los términos que están sumando o restando (positivos o negativos) se trasladan con signo cambiado.  Los términos que están multiplicando se pasan al otro lado a dividir, con su mismo signo; y los términos que están dividiendo se pasan al otro lado a multiplicar, con su mismo signo.

Cuando la desigualdad tiene dos símbolos se procede a despejar la variable, como se explica en los ejemplos c) y d) a continuación.

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Ejemplos:

Resuelve las siguientes desigualdades y determina el intervalo del conjunto solución:

a) 6x-10>3x+5

> Trasladando términos:

6x-3x > 5+10

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

3x > 15

x > 15/3 ⇒ x > 5 Resultado

El conjunto solución es:  (5,∞)

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 b) 2x-6+3x ≥ 8x+21

> Trasladando términos:

2x+3x-8x ≥ 21+6

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

-3x ≥ 27

x ≤ 27/-3

x ≥ -9 Resultado

El intervalo es  (-∞, -9]

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c) 3 ≤ 2x-3 /5 < 7

> Multiplicando toda la desigualdad por 5, para eliminar el denominador:

5(3) ≤ 5(2x-3 /5) < 5(7)

15 ≤ 2x-3 < 35

> El valor independiente que está junto a la variable x, (-3) se quita y se suma a cada extremo de la desigualdad, pero con signo cambiado (3):

15+3 ≤ 2x <35+3

18 ≤ 2x <38

> Se divide toda la desigualdad entre el coeficiente de x (2) para despejar esa variable:

18/2 ≤ 2x/2 <38/2

9 ≤ x <19  Resultado

El intervalo del conjunto solución es : [9, 19)

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d) 4 > 2-3x /7 > -2

> Multiplicando por 7 toda la desigualdad para eliminar el denominador:

7(4) > 7(2-3x /7) > 7(-2)

28 > 2-3x > -14

> El valor independiente que está junto a la variable x, (2) se quita y se suma a cada extremo de la desigualdad, pero con signo cambiado (-2):

28-2 > -3x > -14-2

26 > -3x >-16

> Se divide toda la desigualdad entre el coeficiente de x (-3) para despejar esa variable; en este caso por ser el coeficiente negativo (-3), se cambian de dirección los signos de orden:

26/-3 < -3x/-3 < -16/-3

-26/3 < x < 16/3  Resultado

El intervalo es:  (-26/3, 16/3)

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e) (5x+2)^2 -2x >(5x-4)(5x+4)

> Desarrollando las operaciones indicadas (Factorización):

25x^2+20x+4-2x > 25x^2-16

> Transponiendo términos:

25x^2-25x^2+20x-2x >-16-4

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

18x > -20

x > -20/18

x > -10/9  Resultado

El intervalo es:  (-10/9, ∞)

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Ejercicio 133 del Libro.

Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

1)  12x-4 > 7x+11

12x-7x > 11+4

5x > 15

x > 15/5 ⇒ x > 3

Intervalo (3, ∞)

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2)  3x+9 > 7x-3

3x-7x > -3-9

-4x > -12

x < -12/-4 ⇒ x < 3

Intervalo  (-∞, 3)

Nota: En los problemas  2, 4, 6, 7, 8, 12 y 22, de esta publicación, se cambia la dirección del símbolo, porque se traslada al otro miembro de la desigualdad, un coeficiente negativo que está multiplicando a una variable.

El problema 17 se cambia la dirección del símbolo en el resultado, para convertir la variable “y” en positiva, ya que como ves, en el resultado la variable era negativa.

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3) 2x-5 < x-9

2x-x < -9+5

x < -4

Intervalo:  (-∞, -4)

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4)  4x-2 ≥ 12x +6

4x -12x ≥ 6+2

-8x ≥ 8

x ≤ 8/-8 ⇒ x ≤ -1

Intervalo: (-∞, -1]

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6)   x-9 ≤ 8x-1

x-8x ≤ -1+9

-7x ≤ 8

x ≥ 8/-7 ⇒ x ≥ – 8/7

Intervalo: [-8/7, ∞)

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7) 2x-4+6x< 10x-7

2x+6x-10x < -7+4

-2x < -3

x > -3/-2 ⇒ x > 3/2

Intervalo:  (3/2, ∞)

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8)  3x+7-2x > 4x-3+2x

3x-2x-4x-2x > -3-7

-5x > -10

x < -10/-5 ⇒   x < 2

Intervalo:  (-∞, 2)

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12) (8x+1)(x-7) ≥ (2x-3)(4x+5)

8x^2 -56x +x -7 ≥ 8x^2 +10x -12x -15

8x^2 -8x^2 -56x +x -10x +12x ≥ -15 +7

-53x ≥ -8

x ≤ -8/-53 ⇒ x ≤  8/53

Intervalo:  (-∞, 8/53]

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15)  5x-1 /3 > 3

3(5x-1 /3)> 3(3)

5x-1 > 9

x > 9+1 /5

x > 10/5 ⇒ x > 2

Intervalo:  (2, ∞)

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16)  -5 – x+4/5 > 11-3x

5(-5) -5(x-4/5) > 5(11) -5(3x)

-25 -x -4 > 55 -15x

-x +15x > 55+25 +4

14x > 84

x > 84/14 ⇒ x > 6

Intervalo:  (6, ∞)

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17)   y-1 /2 -2 ≤ 3y-2 /5

El común denominador de 5, 1 y 2  es 10 –> 10÷2=5    ;   10÷1=10  y  10÷5 =2

5(y-1/2)+10(- 2) ≤ 2(3y-2/5)

5y -5 -20 ≤ 6y -4

5y-6y ≤ -4 +20 +5

-y ≤ 21

y ≥ -21

Intervalo:  [-21, ∞)

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22)   5-x/2 – x-17/4 ≥ x/3 – 7x-3 /12

El común denominador de 2, 4, 3 y 12 es 12  –>

12÷2=6  ;  12÷4=3  ;  12÷3=4   y  12÷12=1

6(5-x) -3(x-17) ≥ 4(x) -1(7x-3)

30 -6x -3x +51 ≥ 4x -7x +3

-6x -3x -4x +7x ≥ 3 -30 -51

-6x ≥ -78

x ≤ -78/-6 ⇒ x ≤ 13

Intervalo: (-∞, ]

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