Fórmula para encontrar el enésimo término en una progresión aritmética.


Para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética debemos conocer el Primer Término     ““; el Número de Términos “n” y la Razón “r”, en una progresión aritmética dada ().

La fórmula del Enésimo término es  

Procedimiento:

1) Identificar  ““, “n”, y “r” de la progresión dada.

2) Sustituir los valores identificados en la fórmula del enésimo término.

3) Efectuar operaciones y despejar la variable  , para encontrar la solución.

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Ejemplos:

a) Determinar el 8º término de la progresión 

> Identificando ““, “n”, y “r” de la progresión:

 = 1           n = 8          r = 4-1 = 3

> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

 = 1 + (8-1)3

 = 1 + (7)3

 = 1+21 = 22   Solución.

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b) ¿Cuál es el 7º término en la progresión 

> Identificando ““, “n”, y “r” de la progresión:

 = 1/2           n = 7          r = 5/6 – 1/2 = 1/3

> Sustituyendo valores en la fórmula de  :

 = 1/2 + (7-1)1/3

 = 1/2 + (6)1/3

 = 1/2 + 2 = 5/2   Solución.

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c)  Determinar el 7º término en una progresión aritmética en donde el 3º término es 11 y el 9º término es 35.

Este caso es especial; en el cual encontraremos el enésimo término, formando dos ecuaciones con los valores conocidos, aplicando la fórmula:

Para el 3º término y su valor:

  (1)

Para el 9º término y su valor:

 (2)

> Despejamos como un sistema de dos ecuaciones con variables “a” y “r”. por el método de reducción.

> Aplicando método de reducción para encontrar la variable “r” y luego la variable :

 

.      

.        

> Sustituyendo el valor de “r” en la primera ecuación para encontrar el valor de  

.            

.            

> Conociendo el  =3 ,  “r” = 4  y “n” = 7 ; procedemos a encontrar el 7º término de la progresión aritmética:

   Solución.

La solución Aritmética sería ÷ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, …

.                                               ↓        ↓                     ↓          ↓

.                                               1º      3º                    7º        9º    término

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Ejercicio 148 del Libro.

Encuentra el término que se indica para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

7)  El 8º término en ÷2, 5, 8, …

 = 2      ;    n = 8      ;   r = 5 – 2 = 3

 = 2 +(8-1)3

 = 2 + (7)3

 = 2 + 21 = 23    Solución.

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8)  El 11º término en ÷1, 5/4, 3/2, …

 = 1   ;    n = 11   ;   r = 5/4 – 1 = 1/4

 1 + (11-1) 1/4

 1 + (10) 1/4

 1 + 5/2 ) = 7/2   Solución.

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9)  El 15º término en ÷-3/4, -1/12, 7/12, 5/4, …

 = -3/4   ;   n = 15   ;  r = -1/12 – (-3/4)=-1/12 +3/4 = 2/3

 -3/4 + /( 15 – 1) 2/3

 -3/4  + (14) 2/3

 -3/4 + 28/3 = 103/12   Solución.

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10)  El 10º término en ÷ 1, 7, 13, …

 = 1   ;   n = 10   ;   r = 7 – 1 = 6

 1 + (10 – 1)6

 1 + (9)6

 1 + 54 = 55   Solución.

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11)  El 16º término en ÷ 3, 13/4, 7/12, …

 = 3   ;   n = 16   ;   r = 13/4 – 3 = 1/4

 3 + (16 -1) 1/4

 3 + (15) 1/4

 3 + 15/4 )= 27/4   Solución.

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