Cubo de un binomio.


De la forma (a±b)^3 es igual a un polinomio de cuatro términos que resulta así:

-> Cuando es suma (a + b)^3 = a^3 + 3(a)^2(b) + 3(a)b(^2) + b^3

-> Cuando es diferencia (a – b)^3 = a^3 – 3(a)^2(b) + 3(a)b(^2) – b^3

Procedimiento:

1) Se encuentra el cubo del primer término del binomio:  (a)^3 = a^3

2) Se calcula el triplo del 1º término al cuadrado por el 2º = 3(a)^2(b) = 3a^2b

3) Se calcula el triplo del 1º término por el cuadrado del 2º = 3(a)(b)^2 = 3ab^2

4) Se encuentra el cubo del 2º término del binomio = (b)^3 = b^3

5) Si es el cubo de la suma de un binomio  (a + b)^3; se escriben los cuatro términos, separados por el signo más: a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 , que es la Solución.

6) Si es el cubo de la diferencia de un binomio (a – b)^3; se escriben los cuatro términos, separados el 1º y 2º términos por el signo menos; el 2º y 3º separados por el signo más; y el 3º y 4º término separados por el signo menos.  a^3 – 3(a)^2(b) + 3(a)(b)^2 – b^3 , que es la Solución.

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Ejemplos:

a) Desarrollar (m + 5)^3

-> Cubo del 1º término: (m)^3 = m^3

-> Triplo del 1º término al cuadrado por el 2º:  3(m)^2 (5) = 15m^2

-> Triplo del 1º término por el 2º al cuadrado:  3(m)(5)^2 = 75m

-> Cubo del 2º término: (5)^3 = 125

-> = m^3 + 15m^2 + 75m + 125    Solución.

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b) Efectuar  (3x^4 – 2y^3)^3

-> Cubo del 1º término:  (3x^4)^3 = 27x^12

-> Triplo del 1º término al cuadrado por el 2º:

= 3(3x^4)^2(2y^3) = 54 x^8 y^3

-> Triplo del 1º término por el 2º al cuadrado:

= 3(3x^4)(2y^3)^2 = 36x^4 y^6

-> Triplo del 2º término:  (2y^3)^3 = 8y^9

–> =  27x^7 – 54x^8 y^3 + 36x^4 y^6 – 8y^9  Solución

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Ejercicio 37 del Libro.

Desarrolla los siguientes binomios al cubo:

 2)  (m + 6)^3

-> Cubo de m es  m^3

-> Triplo de (m)^2 por 6 = 3(m)^2 (6) = 18m^2

-> Triplo de m por (6)^2 = 3(m)(6)^2 = 108m

-> Cubo de (6)^3 = 216

-> = m^3 + 18m^2 + 108m + 216  Solución.

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8)  (10 – m)^3

-> Cubo de 10 es : (10)^3 = 1000

-> Triplo de (10)^2(m) = 3(10)^2(m) = 300m

-> Triplo de 10 por (m)^3 = 3(10)(m)^2 = 30m^2

-> Cubo de m : (m)^3 = m^3

-> = 1000 – 300m + 30m^2 – m^3  Solución

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10 (3a-4)^3

-> El cubo de (3a) es : (3a)^3 = 27a^3

-> Triplo de (3a)^3 por (4) = 3(3a)^2(4) = 108a^2

-> Triplo de (3a) por (4)^2 = 3(3a)(4)^2 = 144a

-> Cubo de (4) = (4)^3 = 64

-> = 27a^3 – 108a^2 + 144a – 64  Solución

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11)  (2x + 3)^3

-> Cubo de (2x) es: (2x)^3 = 8x^3

-> Triplo de (2x)^2 por 3 = 3(2x)^2(3) = 36x^2

-> Triplo de (2x) por (m)^2 = 3(2x)(3)^2 = 54x

-> Cubo de (3) = (3)^3 = 27

-> = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27  Solución.

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14)  (5m^2 + 2n^5)^3

-> Cubo de (5m^2) es  (5m^2)^3 = 125m^6

-> Triplo de (5m^2)^2 por (2n^5) = 3(5m^2)^2(2n^5) = 150m^4 n^5

-> Triplo de (5m^2) por (2n^5)^2 =  3(5m^2)(2n^5)^2 = 60m^2 n^10

-> Cubo de (2n^5) es  (2n^5)^3 = 8n^15

-> = 125m^6 + 150m^4 n^5 + 60m^2 n^10 + 8m^15

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 15)  (3x^3 y – 2z^4)^3

-> Cubo de (3x^3 y) es  (3x^3 y)^3 = 27x^9 y^3

-> Triplo de (3x^3 y)^2 por (2z^4) =   3(3x^3 y)^2 (2z^4) = 54x^6  y^2 z^4

-> Triplo de (3x^3 y) por (2z^4)^2 = 3(3x^3 y)(2z^4)^2 = 36x^3 y z^8

-> Cubo de (2z^4) es (2z^4)^3 = 8z^12

-> = 27x^9 y^3 – 54x^6 y^2 z^4 + 36x^3 y z^8 – 8z^12  Solución.

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