Trinomio de la forma x^2+bx+c


Este trinomio es igual al producto de dos binomios con término común.

Procedimiento:

1) Se extrae la raíz del término cuadrático y esta se coloca como primer término en ambos factores binomios, entre paréntesis.  (x    )(x    )

2)  Se coloca el signo del segundo término del trinomio en el primer factor.  Y en el segundo factor se coloca el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el tercero. (x±   )(x±  )

3) Si los signos de los factores binomios son iguales se buscan dos números que sumados den el coeficiente del 2º término del binomio y que multiplicados den como producto el valor del 3º término.

4) Si los signos de los factores binomios son diferentes se buscan dos números que restados den el coeficiente del 2º término del binomio y que multiplicados den como producto el valor del 3º término.

5) El resultado de los dos números sumados o restados, y después multiplicados se colocan como segundo términos en cada uno de los factores binomios. (x±d)(x±e)

Al desarrollar los pasos en un trinomio específico se verá mejor la explicación.  Vamos pues…

_____________________________________________

Ejemplos:

a) Factoriza la expresión  x² +11x +24

> Extrayendo la raíz cuadrada de x² que es = x

–> = (x  )(x  )

> Colocando los signos de los factores binomios:

= (x+ )(x+)

> Buscando dos números que sumados sean igual al coeficiente del 2º término del trinomio, y multiplicados sean igual al 3º término del trinomio:

Son 8 y 3 porque  8+3=11  y  (8)(3)=24

–> x² +11x +24  =  (x+8)(x+3)   Solución.

—————————————–

b) Factoriza la expresión m² -13m +30

> La raíz cuadrada de m² es = m

> El signo del primer factor binomio debe ser (-) igual al signo del 2º término del trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (-), porque (-)(+)=(-)

–> = (m-  )(m-  )

> Buscando dos números que sumados den -13, y multiplicados den 30: estos son -10 y -3

–> m² -13m +30   =  (m-10)(m-3)    Solución.

—————————————-

c) Factorizar  x² -18 -7x

> Ordenando el trinomio con relación a la “x” con mayor exponente:

= x² -7x -18

> La raíz cuadrada de x² es  x

> El signo del primer factor binomio debe ser (-) igual al signo del 2º término del trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (+), porque (-)(-)=(+)

–> = (x-  )(x+  )

> Buscando dos números que restados den -7, y multiplicados den -18: estos son -9 y 2

–> x² -18 -7x  =  (x-9)(x+2)  Solución.

——————————————-

d)  Factorizar la expresión  –  -6

> La raíz cuadrada de  es 

> El signo del primer factor binomio debe ser (-) igual al signo del 2º término del trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (+), porque (-)(-)=(+)

–> = (x² –  )(x²+  )

> Buscando dos números que restados den -1, y multiplicados den -6: estos son -3 y 2

–>   –  -6  =  (x² -3)(x²+2)   Solución.

—————————————-

e) Factorizar la expresión  x² +xy -20y²

> La raíz cuadrada de x² es x   y la raíz cuadrada de y² es y

> El signo del primer factor binomio debe ser (+) igual al signo del 2º término del trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (-), porque (+)(-)=(-)

–> = (x + y  )(x – y )

> Buscando dos números que restados den 1, y multiplicados den -20: estos son 5 y -4

–> x² +xy -20y² =  (x + 5y  )(x – 4y )   Solución.

____________________________________________

Ejercicio 43 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1)  x² +3x +2

> Raíz cuadrada de x² es = x

> El signo del primer factor binomio debe ser (+) igual al signo del 2º término del trinomio; y el signo del 2º factor debe ser (+), porque (+)(+)=(+)

–> = (x+  )(x+  )

> Buscando dos números que restados den 3, y multiplicados den 2: estos son 2 y 1

Por lo tanto (∴)  x² +3x +2 = (x+2)(x+1)    Solución.

___________________________________________

2)  m² -11m +30

> Raíz cuadrada de m² es = m

> El signo del 1º factor binomio es (x-  ), y del 2º factor binomio es (x-  )

> Dos números que sumados den -11 y multiplicados den 30, son -6 y -5

∴  m² -11m +30  =  (x-6)(x-5)   solución.

___________________________________________

3) n² -7n +12

> Raíz cuadrada de n² es = n

> El signo del 1º factor binomio es (n-  ), y del 2º factor binomio es (n-  )

> Los números que sumados dan -7 y multiplicados dan 12, son -4 y -3

∴  n² -7n +12  =  (n-4)(n-3)   Solución.

____________________________________________

4)  y² -15y +56

> Raíz² de y² es = y

> El signo del 1º factor binomio es (y-  ), y del 2º factor binomio es (y-  )

> Los números que sumados dan -15, y multiplicados dan 56, son -8 y -7

∴  y² -15y +56  =  (7-8)(y-7)   Solución.

____________________________________________

5)  x² +7x +6

> Raíz de x² es = x

> El signo del 1º factor binomio es (x+  ). y del 2º factor binomio es (x+  )

> Los números que sumados dan 7, y multiplicados dan 6, son 6 y 1

∴  x² +7x +6  =  (x+6)(x+1)   Solución.

____________________________________________

13)  a² -16a -36

> Raíz de a² es = a

> El signo del 1º factor binomio es (a-  ), y del 2º factor binomio es (a+  )

> Los números que restados dan -16, y multiplicados dan -36, son -18 y 2

∴  a² -16a -36  =  (a-18)(a+2)  Solución.

____________________________________________

15)  x² -18 -7x

> Ordenando es = x² -7x -18

> Raíz de x² es = x

> El signo del 1º factor binomio es (x-  ), y del 2º factor binomio es (x+  )

> Los números que restados dan -7, y multiplicados dan -18, son -9 y 2

∴  x² -18 -7x  =  (x-9)(x+2)   Solución.

_____________________________________________

20)  

> Raíz de  es =

> El signo del 1º factor binomio es (m²+  ), y del 2º factor binomio es (m²-  )

> Los números que restados dan 3, y multiplicados dan -4, son 4 y -1

∴      Solución.

______________________________________________

27)  

> Raíz² de  es = 

> El signo del 1º factor binomio es (–  ), y del 2º factor binomio es (+  )

> Los números que restados dan -5, y multiplicados dan -14, son -7 y 2

∴       Solución.

______________________________________________

33)  

> Raíz² de es    es  

> El signo del 1º factor binomio es (–  ), y del 2º factor binomio es (+  )

> Los números que restados dan -2, y multiplicados dan -99, son -11 y 9

∴       Solución.

______________________________________________