Factorización para completar el trinomio cuadrado perfecto por el trinomio de la forma ax^2+bx+c


Procedimiento:

1) Se factoriza el trinomio ax² ± bx ± c para convertir un factor en trinomio de la forma x² ± bx ± c.  El otro factor se deja pendiente para el final del desarrollo.

2) Se completa el nuevo trinomio para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto.

3) Se simplifica la nueva expresión para formar una Diferencia de Cuadrados.

4) Se factoriza la Diferencia de Cuadrados.

5) Se operan los factores resultantes con el factor que quedo pendiente al inicio.

6) Se simplifica para llegar al resultado final o Solución.

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Ejemplo:

Factorizar  2x^2 +5x +2

> Factorizando la expresión, para convertirla en trinomio de la forma x² +bx +c:

= 2(x² + 5/2 x + 1)

> Convirtiendo el nuevo trinomio a Trinomio Cuadrado Perfecto:

=2(x² + 5/2x + 25/16 – 25/16 + 1)

=2(x² + 5/2x + 25/16)- 25/16 + 1

> Simplificando para convertir el resultado a Diferencia de Cuadrados:

= 2(x + 5/4)² – 9/16

= 2(x + 5/4)² – (3/4)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= 2[(x +5/4)- 3/4][(x + 5/4)+ 3/4]

= 2(x +5/4- 3/4)(x + 5/4+ 3/4)

= 2(x + 1/2)(x + 2)

> Operando los factores con el factor pendiente del inicio y simplificando:

= (2x + 1)(x + 2)    Solución.

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Ejercicio 49 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

7)  3x² +10x +8

> Factorizando la expresión, para convertirla en trinomio de la forma x² +bx +c:

= 3(x² + 10/3x + 8/3)

> Convirtiendo el nuevo trinomio a Trinomio Cuadrado Perfecto:

= 3(x² + 10/3x +25/9 – 25/9 + 8/3)

= 3(x² + 10/3x +25/9) – 25/9 + 8/3

> Simplificando para convertir el resultado a Diferencia de Cuadrados:

= 3(x² + 10/3x +25/9) – 1/9

= 3(x + 5/3)² – (1/3)²

> Factorizando la Diferencia de Cuadrados:

= 3[(x + 5/3)+ 1/3][(x + 5/3)- 1/3]

= 3(x + 5/3 + 1/3)(x + 5/3 – 1/3)

= 3(x + 2)(x + 4/3)

> Operando los factores con el factor pendiente del inicio y simplificando:

= 3(x + 4/3)(x + 2)

= (3x + 4)(x+2)   Solución.

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8)  6m² + 7m + 2

= 6(m² + 7/6m + 1/3)

Si  

–> 6(m² + 7/6m + 49/144 – 49/144 + 1/3)

=  6(m² + 7/6m + 49/144) – 49/144 + 1/3

= 6(m + 7/12)² – 49/144 + 1/3

= 6(m + 7/12)² – 1/144

= 6(m + 7/12)² – (1/12)²

= 6(m + 7/12 + 1/12)(m + 7/12 – 1/12)

= 6(m + 2/3)(m + 1/2)

> Descomponiendo el 6 en dos factores para poder simplificar a enteros las fracciones:

= 3(m + 2/3)2(m + 1/2)

= (3m + 2)(2m +1)    Solución.

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9)  3a² -a -4

= 3(a² – 1/3a – 4/3)

Si  

–> = 3(a² – 1/3a + 1/36 – 1/36 – 4/3)

= 3(a² – 1/3a + 1/36) – 1/36 – 4/3

= 3(a – 1/6)² – 49/36

= 3(a – 1/6)² – (7/6)²

= 3(a – 1/6 – 7/6)(a – 1/6 + 7/6)

= 3(a – 4/3)(a + 1)

= (3a – 4)(a + 1)   Solución.

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