Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos variables por el Método de Reducción.


Consiste en multiplicar las ecuaciones dadas por un número, de tal manera que al sumar las ecuaciones resultantes, una de las variables se elimina y por lo tanto se obtiene una ecuación con una sola variable.

Procedimiento para encontrar el valor de las variables por el Método de Reducción:

1) Multiplicar una ecuación por un determinado número, o multiplicar una ecuación por un determinado número y la otra ecuación por otro número distinto.

2) Se suman algebraicamente las ecuaciones resultantes, y el resultado debe dar una ecuación con una sola variable.

3) La ecuación resultante de una sola variable, se simplifica para encontrar el valor de una variable.

4) El valor de la variable encontrado se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para poder encontrar el valor de la otra variable.

5) El conjunto solución será el valor de las dos variables encontradas.

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Ejemplos:

1)  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones :

2x + 5y = 19  y  3x – 4y = -6

> Multiplicando la 1ª ecuación por (-3) y la 2ª por (2), para poder eliminar la variable (x).

2x + 5y = 19 (-3) –>  -6x -15y = -57

3x – 4y = -6  (2)  –>    6x  – 8y = -12

> Sumando las ecuaciones resultantes:

-6x -15y = -57

 6x  – 8y = -12

.     -23y = -69

> Resolviendo la ecuación resultante:

-23y = -69

y = -69/-23

y = 3  Solución.

> Sustituyendo el valor de la variable encontrada (y) en una de las ecuaciones originales, para encontrar el valor de la otra variable (x).

2x + 5y = 19

2x + 5(3) = 19

2x + 15 = 19

x = 19 -15 /2

x = 4/2 = 2    Solución.

–>  El conjunto Solución es   (2, 3)

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b) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

5x – 3y = -7   y   3x + 5y = -11

> Multiplicando la 1ª ecuación por (5) y la 2ª por (3), para eliminar la variable (y)

5x  – 3y = – 7 (5)  –>  25x – 15y = -35

3x + 5y = -11 (3)  –>  9x + 15y = -33

> Sumando las ecuaciones resultantes:

25x – 15y = -35

 9x + 15y = -33

34x         = -68

Resolviendo la ecuación resultante:

34x = -68

x = -68/34

x = -2  Solución

> Sustituyendo el valor de la variable (x) en una de las dos ecuaciones originales:

3x + 5y = -11

3(-2) + 5y = -11

-6 + 5y = -11

y = -11+6 / 5

y = -5/5 = -1   Solución.

–>  El conjunto solución es  (-2, -1)

En este ejemplo b),  como en en el a) , se muestra gráficamente como dos rectas que tienen en común un punto coincidente, es decir, que se intersecan en un determinado punto.

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c) Determina el conjunto solución del sistema:

6x -2y = 10    y   3x -y = 5

> Multiplicando la 1ª Ecuación por (-1) y la 2ª por (2), para eliminar la variable “y”

6x -2y = 10(-1)  –> -6x +2y = -10

3x -y = 5(2) –>  6x -2y = 10

> Sumando las ecuaciones resultantes:

-6x +2y = -10

  6x – 2y =  10

0x +0y =  0

> El conjunto Solución es  Infinito. 

En este caso la solución es infinita, que lo forman todos los pares ordenados que satisfagan cualquiera de las ecuaciones originales. En su forma gráfica se representa por dos rectas que son coincidentes en todos los puntos de las rectas.

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d) Encuentra el conjunto solución del siguiente sistema:

-x +2y = 4   y    -3x +6y = 5

> Multiplicando la 1ª ecuación por (-3) y la 2ª por (1)

-x +2y = 4(-3)  –>  3y -6y = -12 

-3x +6y = 5(1)  –>  -3x +6y = 5

> Sumando las ecuaciones resultantes (equivalentes):

3y  – 6y = -12

-3x +6y  =  5

0x  +0y = -7  

–> El conjunto solución es vacío ( ).

Este tipo de ecuación resultante indica que la solución es un conjunto vacío.  En forma gráfica se muestra con dos rectas paralelas, las que no tienen ningún punto coincidente.

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Ejercicio 82 del Libro.

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

1) x +y = 4    y    x -y = 2

> En este caso no se multiplican las ecuaciones porque pueden eliminarse las “y” tal como están:

> Sumando las ecuaciones:

x +y = 4

x -y = 2

2x +0y = 6

x = 6/2

x = 3   Solución.

> Sustituyendo el valor de x en  la 1ª ecuación:

x +y = 4

(3) +y = 4

y = 4 -3

y = 1  Solución 

-> El conjunto solución es (3, 1)

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3)  3x -4y = -26    y    2x -3y = -19

> Multiplicando la 1ª ecuación por (2) y la 2ª por -3) para eliminar las “x”:

3x -4y = -26(2)  –>  6x -8y = -52

2x -3y = -19(-3) –> -6x +9y = 57

> Multiplicando las ecuaciones equivalentes:

6x -8y = -52

-6x +9y = 57

0x  + y =  5

y = 5   Solución

> Sustituyendo el valor de “y” en la 1ª ecuación original:

3x -4y = -26

3x -4(5) = -26

3x = -20 = -26

x = -26 +20 /3

x = -6/3

x = -2  solución

–> el conjunto solución es (-2, 5)

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10) 3x -4y = 7    y    9x -12y = 21

> Multiplicando la 1ª ecuación por (3) y la 2ª por (-1), para eliminar las “x”:

3x -4y = 7(3)  –> 9x -12y = 21

9x -12y = 21(-1) –> -9x +12y = -21

> Sumando las ecuaciones equivalentes:

9x  – 12y =  21

-9x +12y = -21

0x  + 0y =   0

–> El conjunto solución es Infinito.

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11) -2ox +5y = 2    y    4x -y = 5

> Multiplicando la 1ª ecuación por (1) y la 2ª por (5) para eliminar las “x”:

-2ox +5y = 2(1)  –> -20x +5y = 2  

4x -y = 5(5)  –> 20x -5y = 25

> Sumando las ecuaciones equivalentes:

-20x +5y =  2

 20x  -5y = 25

0x  +0y = 27

–> El conjunto Solución es vacío ( )  

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