Sistema de dos Ecuaciones Lineales con dos Variables por el Método de Igualación.


Este método consiste en elegir una misma variable de las ecuaciones; la cual se despeja en ambas ; los despejen se igualan y se resuelve la ecuación de primer grado que resulta. De este resultado se obtiene el valor de la variable elegida; para luego sustituir este valor en el cualquiera de los despejes para encontrar el valor de la otra variable.

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Procedimiento:

1) Se despeja una variable de ambas ecuaciones.

2) Se igualan los despejes y se resuelve la ecuación.

3) Sustituyendo en el otro despeje, el valor de la variable encontrado.

4) El valor de las variables encontrados será la Solución.

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Ejemplos:

a) Determina el punto de intersección de las rectas: 

2x -3y = 9      y     4x+ 6y = -45

> Despejando la variable “x” en las dos ecuaciones dadas:

2x -3y = 9

2x = 3y +9

x = 3y +9 /2    Despeje (1)

4x + 6y = -45

4x =  -6y -45

x = -6y -45 /5   Despeje (2)

> Igualando los despejes y formando una ecuación de primer grado:

3y +9 /2 = -y -45 /5

> Resolviendo la ecuación resultante, para encontrar el valor de la variable “y”:

5(3y +9) = 2(-6y -45)

15y +45 = -12y -90

15y +12y = -90 -45

27y = -135

y = -135/27

y = -5

> Sustituyendo el valor de “y” en uno de los despejes, para encontrar el valor de la variable “x”:

x = 3y +9 /2

x = 3(-5) +9 / 2

x = -15 +9 /2

x = –6/2

x = -3  

Solución: el punto de intersección es (-3, -5)

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b) Resuelve el siguiente sistema:

6m -7n = 4    y    2m -14n = -1

> Despejando “n” en ambas ecuaciones:

6m -7n = 4

n = -6m +4 /-7    Despeje (1)

2m -14n = -1

n = -2m -1 /-14   Despeje (2)

> Igualando los despejes:

-6m +4/ -7 = -2m -1 /-14

> Resolviendo la ecuación resultante para encontrar el valor de “m”:

-14(-6m +4) = -7(-2m -1)

84m -56 = 14m +7

84m -14m = 7 +56

70m = 63

m = 63/70 = 9/10 

> Sustituyendo el valor de “m” en uno de los despejes para encontrar el valor de “n”:

n = -2m -1 /-14

n = -2(9/10) -1 / -14

n = -9/5 -1 /-14

n = -14/5 /-14

n = 14/70 = 1/5

La Solución es  m = 9/10    y    n = 1/5

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c) Determina el conjunto solución del sistema:

2x -y = 5    y    -8x +4y = -20

> Despejando “y” en ambas ecuaciones:

2x = y +5

x = y+5 /2    Despeje (1)

-8x+4y /-20

-8x = -4y -20

x = -4y-20 /-8   Despeje (2)

> Igualando los despejes:

y+5 /2 = -4y-20 /-8

> Resolviendo la ecuación resultante:

-8(y+5) = 2(-4y-20)

-8y -40 = -8y -40

-8y +8y = -40 +40

oy = 0  Solución infinita

En este caso son todos los números reales, en pares ordenados que satisfacen la ecuación.

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d) Determina el conjunto solución del sistema:

3x +4y = -2    y    -15x -20y = 7

> Despejando “x” en ambas ecuaciones:

3x +4y = -2

3x = -4y -2

x = -4y-2 /3   Despeje (1)

-15x -20y = 7

-15x = 20y +7

x = 20y+7 /-15   Despeje (2)

> Igualando los despejes:

-4y-2 /3 = 20y+7 /-15

> Resolviendo la ecuación resultante:

-15(-4y-2) = 3(20y+7)

60y +30 = 60y +21

60y -60y = 21 -30

0y = -9    No tiene solución, el conjunto solución es vacío.

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Ejercicio 84 del Libro.

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

1) x -2y = 11    y    x +5y = -17

> Despejando la “x” en ambas ecuaciones:

x -2y = 11

x= 2y +11     Despeje (1)

x +5y = -17

x = -5y -17   Despeje (2)

> Igualando los despejes:

2y +11 = -5y -17

> Resolviendo la ecuación resultante:

2y +5y = -17 -11

7y = -28

y = -28/7 = -4

> Sustituyendo el valor de “y” en uno de los despejes:

x = 2y +11

x = 2(-4) +11

x = -8 +11 = 3

Solución es (3, -4)

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2) -m +n = -1    y    4m -2n = 5

> Despejando “m” en ambas ecuaciones:

-m +n = -1

-m = -n -1

m = n +1    Despeje (1)

4m -2n  = 5

m = 2n+5 /4   Despeje (2)

> Igualando los despejes:

n +1 = 2n+5 /4

> Resolviendo la ecuación resultante:

4(n +1) = 1(2n +5)

4n +4 = 2n +5

4n -2n = 5 -4

2n = 1

n = 1/2

> Sustituyendo la “n” en uno de los despejes:

m = n +1

m = (1/2) +1

m = 3/2

La solución es (3/2, 1/2)

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3) 4a +5b = -3    y    -7b + 3a = -13

> Despejando “a” en ambas ecuaciones:

4a +5b = -3

a = -5b -3 /4    Despeje (1)

-7b +3a = -13

a = 7b -13 /3    Despeje (2)

> Igualando los despejes y resolviendo la ecuación resultante:

-5b -3 /4 = 7b -13 /3

3(-5b -3) = 4(7b -13)

-15b -9 = 28b -52

-15b -28b = -52 +9

-43b = -43

b = -43/-43 = 1

> Sustituyendo “b” en una los despejes:

a = -5b -3 /4

a = -5(1) -3 /4

a = -8/4 = -2

La solución es  (-2, 1)

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10) 6x -24y = 36    y    -3x +12y = -18

> Despejando “x” en ambas ecuaciones:

6x -24y = 36

x = 24y +36 /6  Despeje (1)

-3x +12y = -18

x = -12y -18 /-3   Despeje (2)

> Igualando los despejes y resolviendo la ecuación resultante:

24y +36 /6 = -12y -18 /-3

-3(24y +36) = 6(-12y -18)

-72y -108 = -72y -108

-72y +72y = -108 +108

0y = 0   Solución infinita.  Son todos los números reales, en pares ordenados, que satisfacen la ecuación.

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11) x +3y = 4    y    -4x -12y = 8

> Despejando x en ambas ecuaciones:

x +3y = 4

x = -3y +4   Despeje (1)

-4x -12y = 8

x = 12y +8 /-4   Despeje (2)

> Igualando los despejes y resolviendo la ecuación resultante:

-3y +4 = 12y +8 /-4

-4(-3y +4) = 1(12y +8)

12y -16 = 12y +8

12y -12y = 8 +16

0y = 24   No hay solución.  El conjunto solución es vacío.

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