Sistema de Tres Ecuaciones Lineales con Tres variables.


Este sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables son de la forma Ax + By + Cz = 0, cuyo conjunto solución lo forman  los valores de (x, y, z) que satisfagan a las tres ecuaciones.

Para resolver este sistema se pueden utilizar cualquiera de los Métodos de Igualación usados en el sistema de dos ecuaciones de dos variables.  Pero se recomienda utilizar el Método de Reducción (Suma y Resta).

Recuerda los sistemas de ecuaciones pueden tener: a) Solución única; b) conjunto infinito de soluciones; o c) no tener solución.

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Procedimiento:

1) Se enumeran las tres ecuaciones. (1), (2), (3)

2) Se toman dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables.

3) La ecuación resultante sera de 2 variables. Se le pone una letra para nominarla (A)

4) Se toma una de las dos ecuaciones que se eligieron anteriormente y la otra ecuación que no había sido elegida; y se elimina la misma variable que en las dos primeras ecuaciones elegidas.

 5) La ecuación resultante sera de 2 variables. Se le pone una letra para nominarla (B)

6) Con las dos ecuaciones resultantes de 2 variables (A) y (B) se forma un sistema y se resuelve este por el método recomendado (el de Reducción).

7) El resultado nos dará el valor de una de las variables, el cual utilizaremos para sustituir a la variable en cualquiera de las dos ecuaciones de dos variables, para encontrar el valor de la otra variable.

8) Teniendo los valores de dos variables resueltos, se sustituyen éstos en una de las tres ecuaciones de 3 variables, para encontrar el valor de la última variable.

9) El valor de la tres variables encontrados será la Solución del sistema original.

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Ejemplos:

a) Determina la solución del sistema de las ecuaciones:

> Enumerando las ecuaciones:

(1) 2x -3y -5z = -19

(2) 3x -4y +z = -2

(3) x + y +z = 6

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (2) y eliminando la “x” por el método de reducción:

(1) 2x -3y -5z = -19  (multiplicando por -3) =  -6x +9y +15z = 57

(2) 3x -4y +z = -2     (multiplicando por 2)   =   6x -8y +2z =   -4

.                                                                                y +17z = 53 —(A) 

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (3) y eliminando la “x” por el mismo método:

(1) 2x -3y -5z = -19  (multiplicando por 1)  =   2x -3y -5z = -19

(2)   x + y + z =   6   (multiplicando por -2) = -2x -2y -2z = -12

.                                                                          -5y -7z = -31  —(B)

> Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B), eliminando la “y”

(A)   y +17z = 53   (multiplicando por 5) =  5y +85z = 265

(B) -5y -7z = -31    (multiplicando por 1) = -5y  –  7z =  -31

 5y +85z = 265

-5y  –  7z =  -31

.        78z = 234

z = 234/78

z = 3  

> Sustituyendo el valor de la variable “z” en la ecuación (A) para encontrar el valor de la variable “y”:

(A)   y +17z = 53

y +17(3) = 53

y +51 = 53

y = 53-51

y = 2

> Sustituyendo los valores de “z” y “y” en una ecuación de 3 variables, (la 3):

(3) x +y +z = 6

x +(2) +(3) = 6

x +5 = 6

x = 6-5

x = 1

> La Solución es:  x= 1  ,  y= 2  ,  z= 3

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Ejercicio 89 del Libro.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

1) 

2x -y +5z = 16

 x -6y +2c = -9

3x +4y -z = 32

> Enumerando las ecuaciones:

(1) 2x -y +5z = 16

(2) x -6y +2c = -9

(3) 3x +4y -z = 32

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (2) y eliminando la “x” por el método de reducción:

(1) 2x -y +5z = 16  (multiplicando por -1) = -2x  + y –  5z = -16

(2) x -6y +2c = -9   (multiplicando por 2) =  2x -12y +4z = -18

.                                                                       -11y  –  z = -34 —(A) 

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (3) y eliminando la “x” por el mismo método:

(1) 2x -y +5z = 16   (multiplicando por 3)  =  6x -3y +15z = 48

(2) 3x +4y -z = 32  (multiplicando por -2) = -6x -8y +2z =-64

.                                                                      -11y +17z = -16  —(B)

> Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B), eliminando la “y”

(A) -11y   –   z = -34   (multiplicando por 1)  =  -11y  –  z = -34

(B) -11y +17z = -16   (multiplicando por -1) =   11y -17z =  16

-11y  –  z = -34

 11y -17z =  16

.      -18z = -18

.            z = -18/-18

.            z = 1

> Sustituyendo el valor de la variable “z” en la ecuación (A) para encontrar el valor de la variable “y”:

-11y  – z = -34

-11y -(1) = -34

-11y -1 = -34

y = -34+1/-11

y = -33/-11

y = 3

> Sustituyendo los valores de “z” y “y” en una ecuación de 3 variables, (la 3):

(3) 3x +4y -z = 32

3x +4(3) -(1) = 32

3x +12 -1 = 32

x = 32+1-12 /3

x = 21/3 = 7

> La Solución es: x = 7  ,   y = 3  ,  z = 1

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2) 

d -e -4f = -4

2d +2e +f = 11

d +e +3f = 13

> Enumerando las ecuaciones:

(1) d -e -4f = -4

(2) 2d +2e +f = 11

(3) d +e +3f = 13

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (2) y eliminando la “d” por el método de reducción:

(1)  d – e -4f = -4     (multiplicando por 2)  = 2d -2e -8f = -8

(2) 2d +2e +f = 11  (multiplicando por- 1) = -2d -2e  – f = -11

.                                                                          -4e -9f = -19  —(A) 

> Eligiendo las ecuaciones (1) y (3) y eliminando la “d” por el mismo método:

(1)  d  -e -4f =  -4  (multiplicando por -1)  = -d +e +4f = 4

(2) d +e +3f = 13     (multiplicando por 1) =  d +e +3f = 13

.                                                                       2e +7f = 17  —(B)

> Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B), eliminando la “e”

(A) -4e -9f = -19   (multiplicando por 2)  = -8e -18f = -38

(B)  2e +7f =  17   (multiplicando por 4)   =  8e +28f = 68

-8e -18f = -38

 8e +28f = 68

.        10f = 30

.            f = 30/10

.            f = 3

> Sustituyendo el valor de la variable “f” en la ecuación (A) para encontrar el valor de la variable “e”:

(A) -4e -9f = -19

-4e -9(3) = -19

-4e -27 = -19

e = -19 +27 /-4

e = 8/-4 = -2

> Sustituyendo los valores de “f” y “e” en una ecuación de 3 variables, (la 3):

(3) d +e +3f = 13

d +(-2) +3(3) = 13

d -2 +9 = 13

d = 13-7

d =6

> La Solución es: d = 6   ,   e = -2  ,  f = 3

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