Ejercicio 105 – EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON

Para multiplicar radicales con diferente índice, se busca el mcm de los índices, que llamaremos mci, mínimo común índice.

Procedimiento:

1) Se busca el mínimo común índice de los radicales.

2) Se busca un número que multiplicado por el índice del radical nos de el mci; con ese mismo número se lo agregamos como exponente a la cantidad subradical.

3) Efectuamos la operación en el índice y en el radicando y procedemos a multiplicar y simplificar los radicales, como aprendimos en la multiplicación de radicales con índices iguales.

Ejemplos:

a) Realiza la siguiente operación: $\sqrt[3]{5x^2} . \sqrt[]{3x}$

Buscando el mínimo común múltiplo de los índices:

3|2|2

3|1|3 (El mínimo común índice es (2)(3)= 6

1|1|

Buscando un número que multiplicado por el índice nos de 6 y con el mismo número elevamos el radicando.

3 . 2 = 6 y ( ${5x^2}$ )^2 para $\sqrt[3]{5x^2}= \sqrt[(3)(2)]{(5x^2)^2}=\sqrt[6]{5^2x^4}$

2 . 3 = 6 y (3x)^3 para $\sqrt[]{3x}= \sqrt[(2)(3)]{(3x)^3}=\sqrt[6]{3^3x^3}$

–> Procediendo a multiplicar los radicales transformados:

$\sqrt[6]{5^2x^4} .$ $\sqrt[6]{3^3x^3}$ $=\sqrt[6]{(5^2x^4)(3^3x^3)}=\sqrt[6]{(5^2 . 3^3 . x^7)}=$

$= \sqrt[6]{(25)(27)x^6 . x^1} = \sqrt[6]{675x^6 . x} =x \sqrt[6]{675x}$ Solución.

b) Realiza la siguiente operación: $\sqrt[4]{x^3y} . \sqrt[]{xy}$

El mínimo común índice de 4 y 2 es 4

Buscando un número que multiplicado por el índice nos de 4 y con el mismo número elevamos el radicando.

Para $\sqrt[4]{x^3y}=\sqrt[4]{x^3y}$ porque ya tiene el índice 4.

2 . 2 = 4 y (xy)^2 para $\sqrt[]{xy}=\sqrt[(2)(2)]{(xy)^2}=\sqrt[4]{x^2y^2}$

–> Procediendo a multiplicar los radicales transformados:

$\sqrt[4]{x^3y}.\sqrt[4]{x^2y^2}=\sqrt[4]{(x^3y)(x^2y^2)}=\sqrt[4]{x^5y^3}=\sqrt[4]{x^4x^1y^3}=x\sqrt[4]{xy^3}$ Solución.

Ejercicio 105 del libro.

Efectúa las siguientes operaciones:

3) $\sqrt[]{x}.\sqrt[16]{x^7}$

El mínimo común índice es 16; entonces 16÷2= 8

$\sqrt[]{x}.\sqrt[16]{x^7}=\sqrt[(2)(8)]{(x)^8}.\sqrt[16]{x^7}=\sqrt[16]{x^8}.\sqrt[16]{x^7}=\sqrt[16]{(x^8)(x^7)}=\sqrt[16]{x^15}$ Solución.

4) $\sqrt[]{3xy^2}.\sqrt[3]{2x^3y}=$

El mínimo común índice es 6; entonces 6÷2= 3 y 6÷3=2

$\sqrt[]{3xy^2}.\sqrt[3]{2x^3y}=\sqrt[(2)(3)]{(3xy^2)^3}.\sqrt[(3)(2)]{(2x^3y)^2}=\sqrt[6]{3^3x^3(y^2)^3}.\sqrt[6]{2^2(x^3)^2y^2}=\sqrt[6]{27x^3y^6}.\sqrt[6]{4x^6y^2}$

$=\sqrt[6]{27x^3y^6}.\sqrt[6]{4x^6y^2}=\sqrt[6]{(27x^3y^6)(4x^6y^2)}=\sqrt[6]{108x^9y^8}=\sqrt[6]{108x^6x^3y^6y^2}=$

$=\sqrt[6]{(27x^3y^6)(4x^6y^2)}=\sqrt[6]{108x^9y^8}=\sqrt[6]{108x^6x^3y^6y^2}=xy\sqrt[6]{108x^3y^2}$ Solución.

6) $\sqrt[]{2ab}.\sqrt[4]{a^3b}$

El mínimo común índice es 4; entonces 4÷2= 2 para $\sqrt[]{2ab}$

$\sqrt[]{2ab}.\sqrt[4]{a^3b}=\sqrt[(2)(2)]{(2ab)^2}.\sqrt[4]{a^3b}=\sqrt[4]{2^2a^2b^2}.\sqrt[4]{a^3b}=$

$=\sqrt[4]{4a^2b^2}. \sqrt[4]{a^3b}=\sqrt[4]{(4a^2b^2)(a^3b)}=\sqrt[4]{4a^5b^3}=\sqrt[4]{4a^4a^1b^3}=a\sqrt[4]{4ab^3}$ Solución.

8) $\frac{1}{2} \sqrt[3]{4xy}.\sqrt[]{2xy}$

El mínimo común índice es 6; entonces 6÷3= 2 para $\sqrt[3]{4xy}$ y 6÷2= 3 para $\sqrt[]{2xy}$

$\frac{1}{2} \sqrt[3]{4xy}.\sqrt[]{2xy}=\frac{1}{2} \sqrt[(3)(2)]{(4xy)^2}.\sqrt[(2)(3)]{(2xy)^3}=\frac{1}{2} \sqrt[6]{4^2x^2y^2}.\sqrt[6]{2^3x^3y^3}=\frac{1}{2} \sqrt[6]{16x^2y^2}.\sqrt[6]{8x^3y^3}=$

$=\frac{1}{2} \sqrt[6]{128x^5y^5}=\frac{1}{2} \sqrt[6]{2^6(2)x^5y^5}=(\frac{1}{2})(2)\sqrt[6]{2x^5y^5}=1\sqrt[6]{2x^5y^5}=\sqrt[6]{2x^5y^5}$ Solución.

10) $\sqrt[6]{x^4} . \sqrt[3]{x^2} . \sqrt[]{x}$

El mínimo común índice es 6; entonces 6÷6= 1 para $\sqrt[6]{x^4}$ ; 6÷3= 2 para $\sqrt[3]{x^2}$ y 6÷2= 3 para $\sqrt[]{x}$

$\sqrt[6]{x^4} . \sqrt[3]{x^2} . \sqrt[]{x}=\sqrt[6]{x^4} . \sqrt[(3)(2)]{(x^2)^2} . \sqrt[(2)(3)]{(x)^3}=\sqrt[6]{x^4} . \sqrt[6]{x^4} . \sqrt[6]{x^3}=$