Binomio de Newton. (con exponentes fraccionarios y/o negativos)


El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes fraccionarios y/o negativos,   y   cumple con lo siguiente:

La Fórmula es la misma que se aplica de la misma manera que para los enteros positivos:

Fórmula:  

_______________________________________________________

El desarrollo de los binomios fraccionarios y negativos, cumple con lo siguiente:

a)  El primer término es   o  , y no tienen último término.

b) El número de términos es infinito.

c) El desarrollo de estos binomios recibe el nombre de Serie.

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Ejemplos:

a) Desarrolla    hasta 5 términos:

» Cambiando los exponentes negativos a positivos:

   Solución.

________________________________________________________

b) Desarrollar    , hasta 5 términos:

» 

»    Solución.

________________________________________________________

Ejercicio 95 del Libro.

Desarrollar los siguientes binomios, hasta 5 términos:

13)  

 …  Solución.

________________________________________________________

14)  

…    Solución.

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Binomio de Newton. (Con exponentes enteros y positivos)


Es la manera de resolver un binomio elevado a un exponente por medio del Teorema del Binomio de Newton.

Fórmula:  

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r! : se lee “r factorial”, y es igual a “r” multiplicado por cada uno de los valores anteriores, hasta el valor 1.  Y donde “r” es un valor cualquiera que esté afectado por el factorial (!).

O sea;  r!= r.(r-1)(r-2)(r-3)…1

Ejemplo: 5! = 5 (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)= 120.

_________________________________________________

El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes enteros y positivos,cumple con lo siguiente:

a) El primer término es , y el último término es

b) El número de término del desarrollo del teorema será (n+1)

c) A partir del 2º término del desarrollo, la potencia de “a” disminuye en 1, (n-1) y la potencia de “b” aumenta en 1, (b^1)

___________________________________________________

Ejemplos:

a) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = x    ;     = 2y    ;    n = 4

» Aplicando la fórmula :

    Solución.

______________________________________________________

b) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = 2x²    ;     = -3y²    ;    n = 5

» Aplicando la fórmula :

» 

» 

» 

»    Solución.

________________________________________________

Ejercicio 95 del Libro.

Desarrolla los siguientes binomios:

1)

» 

» 

   Solución

___________________________________________________

2)  

»  

» 

» 

»    Solución.

____________________________________________________

 

Simplificación de Potencias.


El orden de la simplificación estará determinado por las operaciones indicadas, así como por los signos de agrupación que la expresión contenga.

Estos ejercicios se resuelven aplicando los Teoremas de los Exponentes, vistos en el Ejercicio 93.

Procedimiento:

1) Determinar que operaciones están indicadas y que signos de agrupación contiene la expresión, para realizar las operaciones según el orden de operación correspondiente.

2) Aplicar el Teorema de los Exponentes que corresponda.

3) Simplificar los resultados hasta llegar a la solución.

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Ejemplos:

a)  Simplifica la expresión (x²y-²)-³  y da el resultado con exponentes positivos:

» Aplicando el Teorema    ;

» Aplicando el teorema   para cambiar el signo negativo de :

» Multiplicando para simplificar:

   Solución.

_____________________________________________

b) Simplifica la siguiente expresión y elimina los exponentes negativos:

» Multiplicando las potencias de igual base del numerador, aplicando el teorema  :

» Dividiendo potencia de igual base, aplicando el teorema  

» Eliminado el exponente negativo, aplicando el teorema  

   Solución.

_____________________________________________

c)  Simplifica la siguiente expresión  

» Dividiendo los términos semejantes, aplicando el teorema  :

»  Elevando las potencias a otra potencia, aplicando el teorema 

»  Eliminando los exponentes negativos, aplicando el teorema 

     Solución.

________________________________________________

Ejercicio 94 del Libro.

Aplique los teoremas de los exponentes y simplifique las siguientes expresiones:

1)  

   Solución.

_______________________________________________

2)   

(-6/4=-3/2)

   Solución.

_______________________________________________

3)  

    Solución.

_______________________________________________

4)  

=

   Solución.

______________________________________________

5)  

   Solución.

______________________________________________

 

Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o más casos de factorización.


Existen polinomios que se deben factorizar dos o más veces con diferentes casos de factorización para llegar a una solución final.

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Ejemplos:

a) Factorizar 2x³ +6x² -8x

–> Aplicando el Factor común:

= 2x(x² +3x -4)

–> Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 2x(x+4)(x-1)   Solución.

_________________________________________

b) Factorizar  

–> Aplicando el Factor común:

–> Aplicando Diferencia de Cuadrados a   :

= 3(m² – 9)(m² + 9)

= Aplicando Diferencia de Cuadrados a  m² – 9:

= 3(m -3)(m + 3)(m² + 9)   Solución.

_________________________________________

Ejercicio 50 del Libro.

Factorizar las siguientes expresiones:

1)  x³ -3x² -28x

Aplicando el Factor común:

= x(x² -3x -28)

Aplicando Trinomio de la forma x² +bx +c:

= x(x -7)(x +4)   Solución.

________________________________________________

3)  3a² -3a -6

Aplicando el Factor común:

= 3(a² -a -3)

Aplicando el Trinomio de la forma x² +bx +c:

= 3(a -2)(a +1)   Solución.

________________________________________________

5)  m³ -m² -m +1

Aplicando el Factor común por Agrupación de Términos:

= (m³ – m²) – (m -1)

Factorizando los binomios:

m²(m-1) – 1(m -1)

= (m -1)(m² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados a  m² -1:

=  (m -1)(m -1)(m +1)

= (m -1)²(m +1)  Solución.

_________________________________________________

8)  8ax² -2a

Aplicando el Factor Común:

= 2a(4x² – 1)

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  4x² – 1:

= 2a(2x -1)(2x +1)   Solución.

__________________________________________________

9)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando el Trinomio de la forma x +bx +c:

= a(a² +2)(a² -1)

Aplicando la Diferencia de cuadrados

= a(a² +2)(a -1)(a +1)   Solución.

___________________________________________________

13)  

Aplicando el Factor común:

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

Aplicando la Diferencia de Cuadrados a  

   Solución.

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Factorización que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados.


Procedimiento:

  1. Identificar los términos de un o más trinomios cuadrados perfectos y agruparlos.
  2. Factorizar el trinomio o trinomios cuadrados perfectos.
  3. Con el resultado del trinomio y el o los otros términos de la expresión formar una diferencia de cuadrados.
  4. Factorizar la diferencia de cuadrados.
  5. Simplificar para llegar a la solución final.

Recuerda: que los trinomios cuadrados perfectos son los que su primer y tercer términos tienen raíz cuadrada y su segundo término debe ser igual al doble del producto de las raíces de los términos extremos.

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Ejemplos:

a) Factorizar  x² -2xy +y² -a²

–> Agrupando los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto:

= (x² -2xy +y²) -a²

–> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

= (x -y)² -a²

–>Factorizando como diferencia de cuadrados:

= (x -y +a)(x -y -a)   Solución.

_______________________________________

b) Factorizar  16a² -m² -8mn -16n²

–> Agrupando los términos que forman un trinomio cuadrado perfecto:

= 16a² +(-m² -8mn -16n²)

= 16a² -(m² +8mn +16n²)

–> Factorizando el trinomio cuadrado perfecto:

= 16a² -(m + 4n)²

= (4a)² – (m + 4n)²

–> Factorizando como diferencia de cuadrados:

= [4a + (m+4n)][4a – (m +4n)]

= [4a +m +4n)][4a -m -4n)]  Solución.

________________________________________

c) Factorizar  

–> Agrupando los trinomios cuadrados perfectos:

–> Factorizando los trinomios cuadrados perfectos:

–> Factorizando como diferencia de cuadrados:

   Solución.

_________________________________________________

Ejercicio 48 del Libro.

Factoriza las siguientes expresiones:

1) m² +2m +1 -4n²

–> (m² +2m +1) – 4n²

= (m +1)² – (2n)²

–> (m +1 +2n)(m +1 -2n)

= (m +2n +1)(m -2n +1)   Solución.

________________________________________________

2)  y² -6y +9 -z²

–> (y² -6y +9) -z²

= (y – 3)² – (z)²

–> (y -3 +z)(y -3 -z)

= (y +z -3)(y -z -3)   Solución.

________________________________________________

4)  

ó     Solución.

________________________________________________

6)  m² -6x -9 -x² +2am +a²

–> (m² +2am+a²) + (-x² -6x -9)

=  (m² +2am+a²) – (x² +6x +9)

–> (m + a)²-(x + 3)²

= [m +a + (x + 3)][m +a – (x + 3)]

=(m + a + x + 3)(m + a – x – 3)

ó = (m + a – x – 3)(m + a + x + 3)  Solución.

_________________________________________________

Interpolación de medios geométricos.


Consiste e encontrar un cierto número de términos ubicados entre el primero y último término, para formar una progresión geométrica.

Procedimiento:

1) Identificar los datos del problema.

2) Determinar la razón geométrica por medio de su fórmula.

3) Calcular los medios geométricos utilizando la razón.

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Ejemplos:

a) Interpolar 4 medios geométricos en la progresión ÷÷ -3, … , 96.

–> Datos:   = -3   ;     = 96   ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> Determinando la razón por su fórmula:

–> Calculando los 4 medios:

-3, -3(-2), 6(-2), -12(-2), 24(-2), -48(-2).

-3,      6    ,  – 12  ,     24    ,    -48   ,    96.

–> Los medios geométricos interpolados son:  6, -12, 24  y  -48.

__________________________________________________

b) Interpolar 5 medios geométricos en la progresión ÷÷ 16, … , 1/256.

–> Datos:   = 16   ;     = 1/256   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–> Calculando los 5 medios:

16, 16(1/4), 4(1/4), 1(1/4), (1/4)(1/4), (1/16)(1/4), (1/64)(1/4).

16,      4      ,     1      ,    1/4   ,      1/16      ,      1/64       ,    1/256.

–> Los medios geométricos interpolados son:  4, 1 , 1/4 , 1/16  y  1/64.

___________________________________________________

Ejercicio 158 del Libro.

Realiza la interpolación de los medios geométricos que se indican:

1) Cinco medios geométricos entre 1/2  y  32.

–> Datos:   = ½   ;     = 32   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–> ½ , ½(2) , 1(2) , 2(2) , 4(2) , 8(2) , 16(2).

–> ½ ,     1    ,     2   ,    4    ,    8   ,   16   ,    32.

–> Los medios geométricos interpolados son:  1, 2, 4, 8  y  16.

___________________________________________________

2) Tres medios geométricos entre 12  y  4/27.

–> Datos:  = 12   ;     = 4/27   ;    n= 2 +3 = 5   ;   r = ?

–> 

–> 12, 12(1/3) , 4(1/3) , (4/3)(1/3) , (4/9)(1/3).

–> 12,       4      ,     4/3   ,         4/9      ,      4/27.

–> Los medios geométricos interpolados son:  4,  4/3  y   4/9.

___________________________________________________

3)  Cuatro medios interpolados entre  -3  y  -96.

–>  = -3   ;     = -96   ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> 

–> -3 , -3(2) , -6(2) , -12(2)  , -24(2) , -48(2).

–> -3,     -6    ,   -12  ,     -24    ,    -48   ,    -96.

–> Los medios geométricos interpolados son:  -6, -12, -24   y  -48.

____________________________________________________

4) Cinco medios geométricos entre 1½  y  6144.

–> Datos:  = 1½ = 3/2   ;     = 6144   ;    n= 2 +5 = 7   ;   r = ?

–> 

–>  3/2, 3/2(4) , 6(4) , 24(4) , 96(4) , 384(4), 1536(4).

–>  3/2,      6      ,  24   ,    96     ,  384  ,  1536   ,  6144.

–> Los medios geométricos interpolados son:   6,  24,  96,  384  y   1536.

___________________________________________________

6)  Cuatro medios geométricos entre     y   .

–>  = ½   ;     =    ;    n= 2 +4 = 6   ;   r = ?

–> 

–> 1/2,  (1/2)(4/3) , (2/3)(4/3 , (8/9)(4/3) , (32/27)(4/3) ,  (128/81)(4/3)

–> 1/2,        2/3        ,       8/9      ,      32/27     ,      128/81       ,     512/243.

–> Los medios geométricos interpolados son:  2/3 ,  8/9  ,  32/27  ,  128/81.

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Suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica.


Para determinar la suma de los primeros “n” términos de una progresión geométrica es necesario conocer el primer término, el número de términos y la razón.

Cuando falta el valor de uno de los elementos necesarios, pero nos dan el valor de la suma; se debe encontrar el valor que falta utilizando la fórmula de la Suma.

La fórmula de la Suma de una progresión geométrica es:

_______________________________________________

Procedimiento:

1) Identificar los elementos de la progresión.

2) Cuando nos falta el valor de uno de los elementos, pero nos dan el valor de la suma; se debe encontrar el valor que falta mediante la fórmula de la Suma.

3) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula de la Suma.

4) Efectuar las operaciones indicadas y simplificar para encontrar la solución.

_______________________________________________

Ejemplos:

a) Determinar la suma de los primeros 8 términos de la progresión ÷÷ 4/3, 2, 3, …

–> Identificando los elementos de la progresión:

 = 4/3   ;  n = 8  ;  r = 2 ÷ 4/3 = 3/2    ;   S= ?

–> Sustituyendo el valor de cada elemento en la fórmula de S. :

–> Efectuando operaciones y simplificando:

   Solución.

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b)  Encuentra el primer término de una progresión aritmética, cuya suma de los primeros 10 términos es 341 y la razón es -2.

–> Identificando los elementos de la progresión:

n = 10  ;  r = -2    ;   S= 341   ;    = ?

–> Sustituyendo el valor de los elementos en la fórmula de S.:

–> Efectuando operaciones y simplificando:

   Solución.

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Ejercicio 155 del Libro.

Encuentra la suma de los primeros términos que se indican en las siguientes progresiones:

1) Seis términos de ÷÷ -9, -3, -1, …

–>   = -9   ;  n = 6  ;  r = -3 ÷ -9 = 1/3    ;   S= ?

–> 

  Solución.

________________________________________________

2) Siete términos de ÷÷ 3/2, 1, 2/3, …

–>   = 3/2   ;   n = 7  ;    r = 1 ÷ 3/2 = 2/3    ;   S= ?

–> 

   Solución.

_______________________________________________

3)  Nueve términos de la progresión ÷÷ -5, 10, -20, …

–>   = -5   ;   n = 9  ;    r = 10 ÷ -5 = -2    ;   S= ?

–> 

  Solución.

_________________________________________________

5) Quince términos de la progresión ÷÷ 1/8, 1/4, 1/2, …

–>   = 1/8   ;   n = 15  ;    r = 1/4 ÷ 1/8 = 2    ;   S= ?

–> 

  Solución.

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