Fórmulas para determinar el primer término, el número de términos y la razón, en una progresión aritmética.


Procedimiento:

1)  Identificar los elementos que están dados en el problema, para aplicar la fórmula que corresponda.

2) Sustituir los valores de los elementos en la fórmula.

3) Efectuar las operaciones y después despejar la variable de la fórmula.

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Fórmulas:

Primer Término:  

Razón:     

Número de Términos:  

Enésimo Término

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Ejemplos:

a) Encontrar el primer término () de la progresión aritmética, si se sabe que el 13º término () es -28, y la razón es -6.

> Identificando los elementos dados:

= -28    ;    r = -6     ;    n = 13    ;       = ?

> Sustituyendo valores a la fórmula de   y despejando:

   Solución.

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b) Determinar la razón de la progresión aritmética, cuyo primer término () es 6 y el 16º término () es 9.

> Identificando los elementos dados:

 = 6     ;      = 9     ;    n = 16    ;   r = ?

> Sustituyendo valores en la fórmula de “r” y despejando:

   Solución.

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c) ¿Cuál es el número de términos (n) que tiene la progresión aritmética ÷4.5 , 6.6 , … , 25.5?

> Identificando los elementos dados:

 = 4.5   ;    = 25.5   ;    r = 6.6 – 4.5 = 2.1     ;   n = ?

> Sustituyendo valores en la fórmula de “n”  y despejando:

     Solución.

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Ejercicio 148 del Libro.

Dados algunos elementos de una progresión aritmética (÷), determinar el elemento que se pide.

17)  El primer término, si el 13º término es 67 y la razón es 5.

>   ? 67    ;    r = 5   ;    n = 13     ;    = ?

>  

   Solución.

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18)  La razón, si el 1º término es 7 y el 10º es -11

 = 7    ;     = -11    ;   n = 10   ;   r = ?

>  

   Solución.

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19)  El número de elementos de  ÷120, 519, … , 3312

 = 120    ;     = 3312     ;    r = 519 – 129 = 399    ;   n = ?

>  

   Solución.

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20)  La razón, si el 1º término es 2/3 y el 8º término es -13/12:

>   = 2/3   ;    = -13/12   ;   n = 8   ;   r = ?

>  

   Solución.

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21) El 11º término, si el 3º es -4 y el 7º es -16:

En este caso que no conocemos el primer término ni la razón; se deben determinar el 3º termino y el 7º término. Los resultados darán dos ecuaciones lineales; en las cuales las incógnitas serán  y r. Estas ecuaciones debemos resolverlas para encontrar los valores de las incógnitas.  Para luego sustituir esos valores más los que ya teníamos, para encontrar el valor del 11º término que nos piden en el problema.

>Aplicando la fórmula para  = 

    (1ª ecuación)

> Aplicando la fórmula para  = 

   (2ª ecuación)

> Formando un sistema de 2 ecuaciones lineales para encontrar el valor de  y de “r”:

> Resolviendo el sistema por el método de reducción:

      (multiplicamos una ecuación por 1 y la otra por -1,

para poder eliminar una variable al sumar ambas)

> Sustituyendo el valor de “r” en la primera ecuación para encontrar el valor de 

> Identificando los valores encontrados y los que nos dieron en el problema:

     ;    r = -3     ;    n = 17    ;      n = 11    ;     = ?

 =  

> Sustituyendo los valores de los elementos en la fórmula del enésimo término () y despejando:

   Solución.

COMPROBACIÓN:

La progresión aritmética es:

÷ 2, -1, -4, -7, -10, -13, -16, -19, -22, -25, -28

.  ↓          ↓                        ↓                           ↓

.  1º        3º                      7º                         11º  término.

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22) El 1º término, si el 20º término es .62.5 y la razón es -2.5

   ;    r = -2.5   ;    n = 20   ;       ?

>   

>  

   Solución.

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