Ejercicio 95 – EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON

Es la manera de resolver un binomio elevado a un exponente por medio del Teorema del Binomio de Newton.

Fórmula:

$(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+ \frac{n(n-1)}{2 !} a^{n-2}b^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} a^{n-3}b^3+\frac{n(n-1)(n-2)+ . . .+ n(n-1)(n-2) . . . (n-r+1)}{r!} a^{n-r}b^r+ . . . +nab^{n-1}+b^n$

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r! : se lee «r factorial», y es igual a «r» multiplicado por cada uno de los valores anteriores, hasta el valor 1. Y donde «r» es un valor cualquiera que esté afectado por el factorial (!).

O sea; r!= r.(r-1)(r-2)(r-3)…1

Ejemplo: 5! = 5 (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)= 120.

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El desarrollo del Teorema del binomio de Newton $\big(a+b\big)^n$ , con exponentes enteros y positivos,cumple con lo siguiente:

a) El primer término es $a^n$ , y el último término es $b^n$

b) El número de término del desarrollo del teorema será (n+1)

c) A partir del 2º término del desarrollo, la potencia de «a» disminuye en 1, (n-1) y la potencia de «b» aumenta en 1, (b^1)

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Ejemplos:

a) Desarrollar $\big(x+2y\big)^4$

» identificando los elementos del binomio:

$a^n$ = x ; $b^n$ = 2y ; n = 4

» Aplicando la fórmula :

$=(x+2y)^4=a^4+4(x^{4-1})(2y)+ \frac{4(4-1)}{2 !} x^{4-2}(2y)^2+\frac{4(4-1)(4-2)}{3 !} x^{4-3}(2y)^3+ \frac{4(4-1)(4-2)(4-3)}{4 !} x^{4-4}(2y)^4$

$=x^4+4(x^3)(2y)+ \frac{12}{2(1)} (x^2)(4y^2)+\frac{24}{3(2)(1)}( x^{1})(8y^3)+ \frac{24}{4(3)(2)(1)} (x^0)(16y^4)$

$=x^4+4(x^3)(2y)+6(x^2)(4y^2)+4(x)(8y^3)+1(1)(16y^4)$

$=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$ Solución.

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b) Desarrollar $\big(2x^2-3y^2\big)^5$

» identificando los elementos del binomio:

$a^n$ = 2x² ; $b^n$ = -3y² ; n = 5

» Aplicando la fórmula :

» $(2x^2-3y^2)^5=(2x^2)^5+5(2x^2)^{5-1}(-3y^2)^1+ \frac{5(5-1)}{2 !} (2x^2)^{5-2}(-3y^2)^2+\frac{5(5-1)(5-2)}{3 !} (2x^2)^{5-3}(-3x^2)^3+$

$\frac{5(5-1)(5-2)(5-3)}{4 !} (2x^2)^{5-4}(-3x^2)^4+\frac{5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}{5 !} (2x^2)^{5-5}(-3x^2)^5.$

» $= 32x^{10}+5(16x^8)(-3y^2)+ \frac{ 5(4)}{(2)(1)}(8x^6)(9y^4)+ \frac{5(4)(3)}{(3)(2)(1)}(4x^4)(-27y^6)+$

$\frac{5(4)(3)(2)}{(4)(3)(2)(1)}(2x^2)(81y^8)+\frac{5(4)(3)(2)(1)}{(5)(4)(3)(2)(1)}(1)(-243y^{10}).$

» $= 32x^{10}-240x^8y^2+ \frac{1440}{2}x^6y^4-\frac{6480}{6}x^4y^6+ \frac{19440}{24}x^2y^8-\frac{29160}{120}x^0y^10.$

» $= 32x^{10}-240x^8y^2+ 720x^6y^4-1080x^4y^6+ 810x^2y^8-243y^{10}.$ Solución.

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Ejercicio 95 del Libro.

Desarrolla los siguientes binomios:

1) $\big(3-2x\big)^{3}$

» $=(3)^3+3(3^{3-1})(-2x)+ \frac{3(3-1)}{2 !} (3^{3-2})(-2x)^2+\frac{3(3-1)(3-2)}{3 !} (3^{3-3})(-2x)^3$

» $=27+3(3^2)(-2x)+ \frac{3(2)}{(2)(1)}(3^1)(4x^2)+ \frac{3(2)(1)}{(3)(2)(1)}(3^0)(-8x^3)$

$=27+3(9)(-2x)+3(3)(4x^2)+(1)(1)(-8x^3)$

$=27-54x+36x^2-8x^3$ Solución

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2) $\big(1+x\big)^4$

» $=(1)^4+4(1^{4-1})(x)+ \frac{ 4(4-1)}{2!}(1^{4-2})(x^2)+ \frac{(4-1)(4-2)}{3!}(1^{4-3})(x^3)+ \frac{ 4(4-1)(4-2)(4-3)}{4!}(1^{4-4})(x^4)$

» $=1^4+4(1^3)(x)+ \frac{4(3)}{(2)(1)}(1^2)(x^2)+ \frac{4(3)(2)}{(3)(2)(1)}(1^1)(x^3)+ \frac{4(3)(2)(1)}{(4)(3)(2)(1)}(1^0)(x^4)$

» $=1+4(1)(x)+6(1)(x^2)+4(1)(x^3)+(1)(1)(x^4)$

» $=1+4x+6x^2+4x^3+x^4$ Solución.

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Etiqueta: Ejercicio 95

Binomio de Newton. (Con exponentes enteros y positivos)

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