Para calcular el interés compuesto de un capital a una tasa fija de interés anual para n años; se puede calcular por períodos iguales hasta llegar al total de n años.
Pero si lo que interesa es saber el monto que generará el capital a n años; se calculará por medio de fórmulas establecidas.
> Ejemplo para calcular por períodos parciales:
Considera un capital inicial de $100 . invertidos a una tasa fija del 10% de interés anual compuesto. Calcula el interés compuesto por período en los primeros 5 años:
Primer año: M1= C(1+i) = 100(1+0.1) = $110
Segundo año: M2 = M1(1+0.1)= 110(1+0.1) = $121
Tercer año: M3 = M2(1+0.1) = 121(1.01) = $133.10
Cuarto año: M4 = M3(1+0.1) = 133.10(1+0.1) = $146.41
Quinto año: M5 = M4(1+0,1) = 146.41(1+0.1) = $161.051
> Pero, si se desea calcular el monto que generará un capital en determinado tiempo, con una tasa de interés anual compuesto; se utiliza la siguiente fórmula:
Siendo:
M = monto generado.
C = capital inicial.
i = tasa de interés porcentual anual.
n = número de capitalizaciones al año.
t = tiempo que se invierte el capital.
Aplicando la fórmula con los mismos datos del ejercicio anterior:
donde: C= 100 ; i = 0.10 ; n = 1 ; t = 5 M = ?
Cabe aclarar que n = 1, porque como no se menciona ninguna capitalización; se entiende que es una por año.
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Ejemplos:
a) Un ama de casa ahorra en un banco $5000, la institución bancaria le da un interés anual de 6%. Calcula el monto que obtendrá en 12 años.
Datos: C=$5000 , i= 6% anual , n= 1 período , t= 12 años , M=?
> Sustituyendo datos en la fórmula para el monto:
∴ El ama de casa recibirá después de 12 años la cantidad de $10,060.98
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b) Fernando invierte $3000 en un negocio que le dará 10% de interés compuesto anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el monto que recibirá al cabo de 5 años?
Datos: C=3000 , i = 10% anual , n= 2 semestres , t = 5 años , M = ?
> Sustituyendo los datos en la fórmula para el Monto:
Entonces, Fernando recibirá después de 5 años la cantidad de $4,886.68
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c) Calcula el tiempo para duplicar una inversión de 10% de interés anual capitalizable trimestralmente.
Datos: M = 2C , n = 4 períodos , i = 10% , t = ?
Sustituyendo los datos en la fórmula del monto; en este caso 2C:
Resolviendo la ecuación resultante por logaritmos:
-> El tiempo para duplicar la inversión es: t = 7 años.
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Ejercicio 159.
Determina el monto que se genera en cada uno de los siguientes problemas:
2) $32000 se invierten a 12% de interés compuesto anual, capitalizable semestralmente durante 6 años.
Datos: C=32000 , i=12% anual , n=2 períodos , t=7 años , M=?
El monto generado es de $64,390.28.
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4) $24000que vencen en 6 2/3 años, a 9% de interés compuesto anual, capitalizable cuatrimestralmente.
Datos: C=24000 , i=9% anual , n=3 períodos , t=6 2/3 años , M=?
El monto generado es de: $43,346.6
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6) $15400 que vencen en 3 años, a 6 3/4 % de interés compuesto anual, capitalizable trimestralmente.
Datos: C=15400 , i=6 3/4 % anual , n=4 períodos , t=3 años , M=?
El monto generado es de: $18,824.8
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10) $154000 que vencen en 3 años, a 6 3/4% de interés compuesto anual, capitalizable semanalmente.
Datos: C=154000 , i=6 3/4% anual , n=52 períodos , t=3 años , M=?
El monto generado es de: $188,542.
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Resuelve los siguientes problemas:
11) Una compañía de seguros presenta a un padre de familia un fideicomiso para que su hijo de 8 años reciba una cantidad de $40000. cuando tenga 22 años. Determina la cantidad inicial que debe destinar si se le ofrece un contrato con una tasa de 6& de interés compuesto anual, capitalizable semestralmente.
Datos: M= 40000. , i=6% anual , n= 2 períodos , n= 22-8= 14 años , C = ?
La cantidad inicial es de: $17,483.
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16) El índice de crecimiento que se plantea para una población de 6700 habitantes es de 2% anual. ¿Cuánto habrá crecido la población en 20 años?
Datos: C=6700. , i=2% anual ; n=1 , t=20 años , M=?
La población habrá crecido a 9,995 habitantes.
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18) Una empresa pide un préstamo bancario de $400000 para la compra de maquinaria. Si dicho crédito está sujeto a 5% de interés compuesto anual, capitalizable semestralmente, y el tiempo para pagarlo es de 10 años, ¿ cuál será el monto a pagar?
Datos: C=400 000 , i=5% anual , n=2 períodos , t=10 años , M=?
El monto a pagar es de $655,446.5.
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20) ¿Cuál fue el interés que generaron $20000. si se invirtieron con una tasa de 12% de interés compuesto anual, capitalizable mensualmente durante 4 años?
Datos: C=20000 , i=12% anual , n=12períodos , t=4 años , M=?
El interés generado por el capital invertido es de $12,244.5
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EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON 