Ejercicio 86 – EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON

El Método de Cramer consiste en aplicar las definiciones para «x» y para «y» al sistema de ecuaciones.

Solución o fórmula general:

$x= \frac{ \begin{bmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }$ ; $y= \frac{ \begin{bmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }$

Según los resultados se puede concluir que las rectas que mostrarían las gráficas, pueden ser:

Concurrentes: si los determinantes son diferentes de cero.

$x= \frac{ \begin{bmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} } \neq 0$ $y= \frac{ \begin{bmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} } \neq 0$

Coincidentes: si los determinantes son todos iguales a cero.

$x= \frac{ \begin{bmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} } = \frac{0}{0}$ $y= \frac{ \begin{bmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} } = \frac{0}{0}$

Paralelas: si únicamente el determinante denominador es igual a cero.

$x= \frac{ \begin{bmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }= \frac{n}{0}$ $y= \frac{ \begin{bmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} }= \frac{n}{0}$ y en donde «n» ≠ cero.

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Procedimiento:

1) Se aplica el método de Cramer para «x» y para «y» con los datos del sistema de ecuaciones.

2) Se escribe el valor de «x» y de «y» y la coordenada que resulta.

3) Según el resultado se concluye que tipo de rectas son: (concurrentes, coincidentes o paralelas)

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Ejemplos:

Aplica el método de Cramer y determina la solución del sistema:

a) $\begin{cases}4x-y=-9\\3x+5y=-1\end{cases}$

> Aplicando el método de Cramer al sistema de ecuaciones:

$x= \frac{ \begin{bmatrix}-9 & -1 \\-1 & 5 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}4 & -1 \\3 & 5 \end{bmatrix} } = \frac{(-9)(5)-(-1)(-1)}{(4)(5)-(3)(-1)} = \frac{(-45)-(1)}{(20)-(-3)}$

$= \frac{-45-1}{20+3}= \frac{-46}{23}=-2$

$y= \frac{ \begin{bmatrix}4 & -9 \\3 & -1 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}4 & -1 \\3 & 5 \end{bmatrix} } = \frac{(4)(-1)-(3)(-9)}{(4)(5)-(3)(-1)} = \frac{(-4)-(-27)}{(20)-(-3)}$

$= \frac{-4+27}{20+3}= \frac{23}{23} =1$

Solución: x=-2, y=1 (-2,1) . Son rectas concurrentes.

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b) $\begin{cases}2x-y=4\\4x-2y=8\end{cases}$

> Aplicando el método:

$x= \frac{ \begin{bmatrix}4 & -1 \\8 & -2 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -1 \\4 & -2 \end{bmatrix} } = \frac{(4)(-2)-(8)(-1)}{(2)(-2)-(4)(-1)} = \frac{(-8)-(-8)}{(-4)-(-4)}$

$= \frac{-8+8}{-4+4}= \frac{0}{0}$

$y= \frac{ \begin{bmatrix}2 & 4 \\4 & 8 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -1 \\4 & -2 \end{bmatrix} } = \frac{(2)(8)-(4)(4)}{(2)(-2)-(4)(-1)} = \frac{(16)-(16)}{(-4)-(-4)}$

$= \frac{16-16}{-4+4}= \frac{0}{0}$

Solución: Son rectas coincidentes. Tienen un conjunto infinito de soluciones.

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c) $\begin{cases}2x-y=5\\-6x+3y=2\end{cases}$

> Aplicando el método:

$x= \frac{ \begin{bmatrix}5 & -1 \\2 & 3 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -1 \\-6 & 3 \end{bmatrix} } = \frac{(5)(3)-(2)(-1)}{(2)(3)-(-6)(-1)} = \frac{(15)-(-2)}{(6)-(6)}$

$= \frac{15+2}{6-6}= \frac{17}{0}$

$y= \frac{ \begin{bmatrix}2 & 5 \\-6 & 2 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -1 \\-6 & 3 \end{bmatrix} } = \frac{(2)(2)-(-6)(5)}{(2)(3)-(-6)(-1)} = \frac{(4)-(-30)}{(6)-(6)}$

$= \frac{4+30}{6-6}= \frac{34}{0}$

Solución: Son rectas paralelas. No tienen solución.

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Ejercicio 86 del Libro.

Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer:

1) $\begin{cases}3x-4y=15\\-2x+3y=-12\end{cases}$

$x= \frac{ \begin{bmatrix}15 & -4 \\-12 & 3 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}3 & -4 \\-2 & 3 \end{bmatrix} } = \frac{(15)(3)-(-12)(-4)}{(3)(3)-(-2)(-4)} = \frac{(45)-(48)}{(9)-(8)}$

$= \frac{(45)-(48)}{(9)-(8)}= \frac{-3}{1} =-3$

$y= \frac{ \begin{bmatrix}3 & 15 \\-2 & -12 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}3 & -4 \\-2 & 3 \end{bmatrix} } = \frac{(3)(-12)-(-2)(15)}{(3)(3)-(-2)(-4)} = \frac{(-36)-(-30)}{(9)-(8)}$

$= \frac{-36+30}{9-8} = \frac{-6}{1} =-6$

Solución: x=-3, y=-6 (-3,-6) . Son rectas concurrentes.

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7) $\begin{cases}5a-7b=10\\8b-6a=-12\end{cases}$

= $\begin{cases}5a-7b=10\\-6a+8b=-12\end{cases}$ (se ordenó)

$a= \frac{ \begin{bmatrix}10 & -7 \\-12 & 8 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}5 & -7 \\-6 & 8 \end{bmatrix} } = \frac{(10)(8)-(-12)(-7)}{(5)(8)-(-6)(-7)} = \frac{(80)-(84)}{(40)-(42)}$

$= \frac{80-84}{40-42} = \frac{-4}{-2}=2$

$b= \frac{ \begin{bmatrix}5 & 10 \\-6 & -12 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}5 & -7 \\-6 & 8 \end{bmatrix} } = \frac{(5)(-12)-(-6)(10)}{(5)(8)-(-6)(-7)} = \frac{(-60)-(-60)}{(40)-(42)}$

$= \frac{-60+60}{40-42}= \frac{0}{-2} =0$

Solución: a=2, b=0 (2,0) .

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9) $\begin{cases}7u+2v=-5\\-35u-10v=25\end{cases}$

$u= \frac{ \begin{bmatrix}-5 & 2 \\25 & -10 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}7 & 2 \\-35 & -10 \end{bmatrix} } = \frac{(-5)(-10)-(25)(2)}{(7)(-10)-(-35)(2)} = \frac{(50)-(50)}{(-70)-(-70)}$

$= \frac{50-50}{-70+70}= \frac{0}{0} =0$

$v= \frac{ \begin{bmatrix}7 & -5 \\-35 & 25 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}7 & 2 \\-35 & -10 \end{bmatrix} } = \frac{(7)(25)-(-35)(-5)}{(7)(-10)-(-35)(2)} = \frac{(175)-(175)}{(-70)-(-70)}$

$= \frac{175-175}{-70+70}= \frac{0}{0} =0$

Solución: u=0, v=0 (0,0) . Son rectas coincidentes.

Es un conjunto infinito de soluciones.

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10) $\begin{cases}2x-9y=3\\18x-81y=-5\end{cases}$

$x= \frac{ \begin{bmatrix}3 & -9 \\-5 & -81 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -9 \\18 & -81 \end{bmatrix} } = \frac{(3)(-81)-(-5)(-9)}{(2)(-81)-(18)(-9)} = \frac{(-243)-(45)}{(-162)-(-162)}$

$= \frac{-243-45}{-162+162}= \frac{-288}{0}$

$y= \frac{ \begin{bmatrix}2 & 3 \\18 & -5 \end{bmatrix} }{ \begin{bmatrix}2 & -9 \\18 & -81 \end{bmatrix} } = \frac{(2)(-5)-(18)(3)}{(2)(-81)-(18)(-9)} = \frac{(-10)-(54)}{(-162)-(-162)}$

$= \frac{-10-54}{-162+162} = \frac{-64}{0}$

Solución: no hay porque el denominador es cero. Son rectas paralelas.

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Etiqueta: Ejercicio 86

Deducción del Método de Cramer.

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