Un polinomio tendrá tantas raíces según sea el orden del polinomio, pero esas valores deben cumplir la condición de que en f(x)n= 0.
Los valares de las raíces pueden ser reales, complejos o ambos, según sean las características del polinomio.
Ejemplos:
a) Demostrar que -2, 1 y 3 son raíces del polinomio f(x) = x³ -2x² -5x +6
Sustituyendo los valores en en el polinomio f(x):
Si (-2) -> f(-2) = (-2)³ -2(-2)² -5(-2) +6 = -8 -8 +10 +6 = 0
Si (1) -> f(1) = (1)³ -2(1)² -5(1) +6 = 1 -2 -5 +6 = 0
Si (3) -> f(3) = (3)³ -2(3)² -5(3) +6 = 27 -18 -15 +6 = 0
Los residuos son igual a cero, por lo tanto, son raíces del polinomio.
b) Prueba que -i, i y 1/3 son las raíces del polinomio f(x) = 3x³-x²+3x-1
Sustituyendo los valores dados en el polinomio (f(x):
Si f(-i) -> f(-i) = 3(-i)³ -(-i)² +3(-i) -1 = 3(-i) -(-1) +3(i) -1 =
= -3i +1 +3i -1= 0
Si f(i) -> f(i) = 3(i)³ -(i)² +3(-i) -1 = 3(-i) -(-1) +3(i) -1 =
= -3i +1 +3i -1 = 0
si f(1/3) -> f(1/3) = 3(1/3)³ -(1/3)² +3(1/3) -1 =
= 3(1/27) – 1/9 +1 -1 = 1/9 -1/9 +1 -1 = 0
Comprobado que los 3 valores propuestos son raíces del polinomio.
c) Determina cuáles de los siguientes números 4, 1, 1+i , -1-2i son ceros o raíces de f(x)=x⁴+5x³+7x²+7x-20:
Si f(4) -> f(4) = (4)⁴+5(4)³+7(4)²+7(4)-20 = 256 +320 +112 +28 -20 = 696
Si f(1) -> f(1) = (1)⁴+5(1)³+7(1)²+7(1)-20 = 1 +5 +7 +7 -20 = 0
Si (1+i) -> f(1+i) = (1+i)⁴+5(1+i)³+7(1+i)²+7(1+i)-20=
= -4 -10 +10i +14i +7 +7i -20 = (-4-10+7-20)+(10+14+7)i = -2y +31i
Si (-1-2i) -> f(-1-2i) = (-1-2i)⁴+5(-1-2i)³+7(-1-2i)²+7(-1-2i)-20
= -7 -24i +55 +10i -21 +28i -7 -14i -20
= (-7+55-21-7-20)+(-24+10+28-14)i = 0+0 = 0
Como se observa en los resultado, solamente los valores 1 y -1-2i, son raíces del polinomio.
Ejercicio 167.
Determina cuáles de los valores propuestos son raíces de los polinomios:
18) f(x) = x³-12x²+47x-60; x=3, x=4, x=5
f(3) = (3)³-12(3)²+47(3)-60 = 27 -108 +141 -60 = 0
f(4) = (4)³-12(4)²+47(4)-60 = 64 -192 +188 -60 = 0
f(5) = (5)³-12(5)²+47(5)-60 = 125 -300 +235 -60 = 0
Todos los valores son raíces.
20) f(x) = x³+10x²+27x+18; x=1, x=-2, x=-9
f(1) = (1)³+10(1)²+27(1)+18 = 1 +10 +27+18 = 56
f(-2) = (-2)³+10(-2)²+27(-2)+18 = -8 +40 -54 +18 = -4
f(-9) = (-9)³+10(-9)²+27(-9)+18 = -27 +810 -243 +18 = 558
Ninguno de los valores son raíces, porque el resultado del polinomio es diferente de cero.
22) f(x) = 5x³ -17x²+13x+15; x=2+i, x=-2-i, x=-3/5
f(2+i) = 5(2+i)³ -17(2+i)²+13(2+i)+15 = 5(8-i)-17(4-1)+13(2+i)+15
= 40 +5i -51 +26 +13i +15 = (40-51+26+15)+(5+13)i = 30+18i
f(-2-i) = 5(-2-i)³ -17(-2-i)²+13(-2-i)+15 = 5(-8-i)-17(4-1)+13(-2-i)+15
= -40 -5i -51 -26 -13i +15 = (-40-51-26+15)+(-5-13)i = -102-18i
f(-3/5) = 5(-3/5)³ -17(-3/5)²+13(-3/5)+15 = 5(-27/125)-17(9/25)+12(-3/5) +15
= -27/25 -153/25 -36/5 +15 = 3/5
Ninguno de los valores son raíces del polinomio.
24) f(x) = x⁴-4x³+7x²-16x+12; x=-3, x=-1, x=2i, x=-2i
f(-3) = (-3)⁴-4(-3)³+7(-3)²-16(-3)+12= 81 +108 +63 +48 +12 = 312
f(-1) = (-1)⁴-4(-1)³+7(-1)²-16(-1)+12 = 1 -4 +7 +16 +12 = 20
f(2i) = (2i)⁴-4(2i)³+7(2i)²-16(2i)+12 = 16(1) -4(8)(-i) +7(4)(-1) -16(2)(i) +12 =
= 16 +32i -28-32i +12 = (16-28+12)+(32-32)i = 0
f(-2i) = (-2i)⁴-4(-2i)³+7(-2i)²-16(-2i)+12 = 16(1) -4(-8)(-i) +7(4)(-1) -16(-2)(i)+12
= 16 -32i -28+32i +12 = (16-28+12)+(-32+32)i = 0
Solamente los valores 2i y -2i son raíces del polinomio.
25) f(x) = 25x⁴-100x³-19x²+82x-24; x=4, x=1, x=3/5, x=-2/5
f(4) = 25(4)⁴-100(4)³-19(4)²+82(4)-24 = 25(256) -100(64) -19(16) +82(4) -24
= 900-6400-304+328-24 = -5500
f(1) = 25(1)⁴-100(1)³-19(1)²+82(1)-24 = 25-100-19+82-24 = -36
f(3/5) = 25(3/5)⁴-100(3/5)³-19(3/5)²+82(3/5)-24
= 25(81/625)-100(27/125)-19(9/25)+82(3/5)-24
= 81/25 -108/5 -171/25 +246/5 -24 = 0
f(-2/5) = 25(-2/5)⁴-100(-2/5)³-19(-2/5)²+82(-2/5)-24
= 25(16/625)-100(-8/125)-19(4/25)+82(-2/5)-24
= 16/25 -32/5 -76/25 +164/5 -24 = 0
Solamente los valores 3/5 y -2/5 son raíces del polinomio.
EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON 