El triangulo de Pascal aplicado para un binomio a «n» potencia; se forma con base en el valor del exponente al que está elevado el binomio.
1º renglón (a+b)º 1
2º renglón (a+b)¹ 1 1
3º renglón (a+b)² 1 2 1
4º renglón (a+b)³ 1 3 3 1
5º renglón (a+b)^4 1 4 6 4 1
6º renglón (a+b)^5 …
Como podrás observar cada renglón a partir del 2º empiezan con 1 y terminan en 1. Además a partir del 3º renglón se colocan dentro de esos «1»s, los valores que resulten de sumar los elementos del 2º renglón, así: (el 1º con el 2º, el 2º con el 3º; en el caso de (a+b)²) y así sucesivamente para los renglones siguientes.
Cada renglón tendrá un elemento más que el valor del exponente del binomio. Ejemplo (a+b)^4 tendrá 5 elementos en el renglón del triángulo; (a+b)^5 tendrá 6 elementos; y así sucesivamente.
Para resolver un binomio a la «n» potencia, por medio del Triángulo de Pascal; se debe factorizar el binomio según su exponente; agregándole como primer factor a cada expresión que contenga la factorización del binomio, en el mismo orden en que aparecen los elementos en el triángulo.
Ejemplo: desarrolla (a+b)^4
La factorización del binomio es:
= a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + ab^3 + b^4
Los elementos que le corresponden al binomio según el triángulo son: 1, 4, 6, 4, 1
Entonces:
(a+b)^4 = 1(a)^4 + 4(a)^3(b) + 6(a^2)(b^2) + 4(a)(b^3) + 1(b)^4
. = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4 Solución.
Ejemplo con valores:
Desarrollar (3x-2y)^4
Binomio factorizado:
= (3x)^4 + (3x)^3(-2y) + (3x)^2(-2y)^2 + (3x)(-2y)^3 + (-2y)^4
Elementos del renglón del Triángulo: 1, 4, 6, 4, 1
Desarrollo:
(3x-2y)^4 = 1(3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2 (-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 +1(-2y)^4
. = 81x^4 -216x^3 y +216x^2 y^2 -96xy^3 -16y Solución.
Ejercicio 97.
Desarrolla los siguientes binomios con el triángulo de Pascal:
1) (2x+1)^4
= 1(2x)^4 + 4(2x)^3 (1) + 6(2x)^2 (1)^2 + 4(2x)(1)^3 + 1(1)^4
= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x +1 Solución.
2) (3-2y)^7
Elementos del renglón: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
–>(3-2y)^7
= 1(3)^7 + 7(3)^6(-2y) + 21(3)^5(-2y)^2 + 35(3)^4(-2y)^3 + 35(3)^3(-2y)^4 + 21(3)^2(-2y)^5 + 7(3)(-2y)^6 + 1(-2y)^7
= 2187 -10206y +20412y^2 -22680y^3 +15120y^4 -6048y^5 +1344y^5 -128y^7 Solución._
3) (x+1)^8
Elementos del renglón: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
–>
= 1(x)^8 +8(x)^7 (1) +28(x)^6 (1)^2 +56(x)^5 (1)^3 +70(x)^4 (1)^4 +56(x)^3 (1)^5 +28(x)^2 (1)^6 +8(x) (1)^7 +1(1)^8
= x^8 +8x^7 +28x^6 +56x^5 +70x^4 +56x^3 +28x^2 +8x +1 Solución.
4) (1-x)^6
Elementos del renglón: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
= 1(1)^6 +6(1)^5 (-x) +15(1)^4 (-x)^2 +20(1)^3 (-x)^3 +15(1)^2 (-x)^4 +6(1) (-x)^5 +1 (-x)^6
= 1 -6x +15x^2 -20x^3 +15x^4 -6x^5 +x^6
= x^6 -6x^5 +15x^4 -20x^3 +15x^2 -6x +1 Solución.
5) (5m-2n)^5
Elementos del renglón: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
= 1(5m)^5 +5(5m)^4 (-2n) +10(5m)^3 (-2n)^2 +10(5m)^2 (-2n)^3 +5(5m)(-2n)^4 +1(-2n)^5
= 3125m^5 -6250m^4n +5000m^3n^2 -2000m^2n^3 +400mn^4 -32n^5 Solución.
EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON 