Es toda expresión que está formada por una fracción que se relaciona en sentido de dirección por los símbolos <, ≤, >, ≥, relacionada con otra expresión o con cero.
Método por intervalos.
Proceso para encontrar los valores que hacen cero al numerador y al denominador, para poder determinar los intervalos y analizar los signos.
Ejemplo a)
Resuelve
Se agrupan los términos en un miembro de la desigualdad, normalmente en el miembro izquierdo, y se realizan las operaciones indicadas.
El símbolo de la expresión <, indica que los intervalos de solución serán aquellos cuyo producto de los signos de los factores sea negativo.
Se determinan los términos que hacen cero el numerador y el denominador, para encontrar los posibles intervalos que formarán el conjunto solución.
Los intervalos que se van analizar son:
–∞________-3/2)_________2________9_______ ∞
. (-∞, -3/2) (-3/2, 2) (2, 9] [9, ∞)
Buscando los valores que hacen cero los factores:
x +3 = 0 ⇒ x = -3/2 )
x -2 = 0 ⇒ x = 2 )
x -9 = 0 ⇒ x = 9 ]
En este caso los intervalos solución se determinan por el producto de los signos de cada factor.
. (-∞, -3/2) (-3/2, 2) (2, 9] [9, ∞) x = -3/2 ) -∞______-_______-3/2______+_______2_______+_______9_______+_______ ∞ x = 2 ) -∞______-_______-3/2______-_______2_______+_______9_______+________∞ x = 9 ] -∞______-_______-3/2______-_______2_______-_______9_______+________∞-∞_ (-)(-)(-)= - (+)(-)(-)=+ (+)(+)(-)=- (+)(+)(+)= +_∞ Como la expresión es "menor que cero", implica que los intervalos solución serán los que el producto de sus signos sea negativo.
El intervalo solución es: (- ∞, -3/2) ∪ (2, 9]
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Ejemplo b)
Resuelve
Simplificando el factor x² +2 = 0 ⇒ x² =- 2 ⇒ x = √-2. Este valor no se toma en cuenta, porque es positivo en todos los valores de x y no afecta en el signo del cociente.
Buscando los valores que hacen cero los factores:
3 -x = 0 ⇒ -x = -3 ⇒ x = 3 ]
x -5 = 0 ⇒ x = 5 )
x+3 = 0 ⇒ x = -3 )
Los intervalos que se van analizar son:
–∞______-3)_______3_______5_______ ∞
(-∞, -3) (-3, 3) (3, 5) (5, ∞)
Construyendo la tabla para determinar los signos y los intervalos:
Como la x es negativa en «3 -x«, los signos hacia la izquierda de 3 son positivos y los signos hacia la derecha son negativos.
. (-∞, -3) (-3, 3] [3, 5) (5, ∞) 3 -x = x+3 -∞______+______-3)______+______3______-______5______-______∞ x -5 = x+5 -∞______-______-3)______-______3______-______5______+______∞ x +3 = x-3 -∞______-______-3)______+______3______+______5______+______∞(+)(-)(-)=+ (+)(-)(+)=- (-)(-)(+)=+ (-)(+)(+)=- Como la expresión es "mayor que cero", implica que los intervalos solución serán los que el producto de sus signos sea positivo.
El intervalo solución es (-∞, -3) ∪ [3, 5).
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Ejercicio 135.
Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
8)
Si x -11= 0 ⇒ x = 11
Si x +1 = 0 ⇒ x = -1
Si x -3 = 0 ⇒ x = 3
–∞_______-1_______3_______11_______ ∞
(-∞, -1) (-1, 3) (3, 11) (11, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -1) (-1, 3] [3, 11) (11, ∞) x = -1 -∞______-______-1)_____+_____3)_______+______11)______+______ ∞ x = 3 -∞______-______-1)_____-______3)_______+ _____11)______+______∞ x = 11 -∞______-______-1)_____-______3)_______-______11)______+______∞(-)(-)(-)= - (+)(-)(-)= + (+)(+)(-)= - (+)(+)(+)= + Como la expresión original es "mayor que cero", esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es positivo.
El intervalo solución es (-1, 3) ∪ (11, ∞)
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9)
Si -2x -18 = 0 ⇒ x = -9
Si 3x +1 = 0 ⇒ x = -1/3
Si x -4 = 0 ⇒ x = 4
–∞________[-9________-1/3)________4)________ ∞
(-∞, -9] [-9, -1/3) (-1/3, 4) (4, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -9] [-9, -1/3) (1/3, 4) (4, ∞) x = -9 -∞______+_______-9]_____-______-1/3_______-______4______-______ ∞ x = -1/3 -∞______-_______-9]_____-______-1/3_______+ _____4______+_______∞ x = 4 -∞______-_______-9]_____-______-1/3_______-______4______+_______∞(+)(-)(-)= + (-)(-)(-)= - (-)(+)(-)= + (-)(+)(+)= - Se tomó en cuenta que en (-2x-18) = 0, la x es negativa; entonces la dirección de los símbolos es: a la izquierda positivos y a la derecha negativos. Solo con este factor.
Como la expresión original es «menor que cero», esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es negativo.
El intervalo solución es [-9, -1/3) ∪ (4, ∞)
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10)
Si 2x -8 = 0 ⇒ x = 4
Si x +2 = 0 ⇒ x = -2
Si x -2 = 0 ⇒ x = 2
–∞________-2)_________2)_________4]________ ∞
(-∞, -2) (-2, 2) (2, 4) [4, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -2) (-2, 2) (2, 4] [4, ∞) x = -2 -∞______-_______-2_____+______2_______+______4______+______ ∞ x = 2 -∞______-_______-2_____-______2_______+ _____4______+______ ∞ x = 4 -∞______-_______-2_____-______2_______-______4______+______ ∞(-)(-)(-)= - (+)(-)(-)= + (+)(+)(-)= - (+)(+)(+)= +
Como la expresión original es «menor que cero», esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es negativo.
El intervalo solución es (-∞, -2) ∪ (2, 4]
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11)
Si x+4 = 0 ⇒ x = -4
Si x -1 = 0 ⇒ x = 1
Si x +2 = 0 ⇒ x = -2
El factor x² no se toma en cuenta, porque es positivo y no afecta el signo del cociente.
–∞________-4_________-2_________1________ ∞
(-∞, -4) (-4, -2) (-2, 1) (1, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -4) (-4, -2) (-2, 1] (1, ∞) x = -4 -∞______-_______-4_____+______-2_______+______1______+______ ∞ x = -2 -∞______-_______-4_____-______-2_______+ _____1______+_______∞ x = 1 -∞______-_______-4_____-______-2_______-______1______+_______∞(-)(-)(-)= - (+)(-)(-)= + (+)(+)(-)= - (+)(+)(+)= +
Como la expresión original es «mayor que cero», esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es positivo.
El intervalo solución es (-4, -2) ∪ (1, ∞)
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12)
Si 2x-3 = 0 ⇒ x = 3/2
Si x +2 = 0 ⇒ x = -2
Si x -4 = 0 ⇒ x = 4
El factor (x-3)² no se toma en cuenta, porque es positivo y no afecta el signo del cociente.
–∞________-2_________3/2_________4________ ∞
(-∞, -2) (-2, 3/2] (3/2, 4) (4, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -2) (-2, 3/2] [3/2, 4) (4, ∞) x = -2 -∞______-_______-2_____+_____3/2_______+______4______+______ ∞ x = 3/2 -∞______-_______-2_____-_____3/2_______+ _____4______+_______∞ x = 4 -∞______-_______-2_____-______-2_______-______4______+_______ ∞(-)(-)(-)= - (+)(-)(-)= + (+)(+)(-)= - (+)(+)(+)= + Como la expresión original es "menor que cero", esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es negativo.
El intervalo solución es (-∞, -2) ∪ [3/2, 4)
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13)
Si 4 -x = 0 ⇒ x = 4
Si x +6 = 0 ⇒ x = -6
Si x -1 = 0 ⇒ x = 1
El factor (x+3)² no se toma en cuenta, porque es positivo y no afecta el signo del cociente.
–∞________-6_________1_________4________ ∞
(-∞, -6) (-6, 1] (1, 4] [4, ∞)
Tabla para determinar los signos y los intervalos:
. (-∞, -6) (-6, 1) (1, 4] [4, ∞) x = -6 -∞______-_______-6_____+_______1_______+_______4______+______ ∞ x = 1 -∞______-_______-6_____-_______1_______+ ______4______+______ ∞ x = 4 -∞______+_______-6_____+_______1_______+_______4______-______ ∞(-)(-)(+)= + (+)(-)(+)= - (+)(+)(+)= + (+)(+)(+)= - Se tomó en cuenta que en (4-x) = 0, la x es negativa; entonces la dirección de los símbolos es: a la izquierda positivos y a la derecha negativos. Solo con este factor.
Como la expresión original es «mayor que cero», esto implica que los intervalos solución serán aquellos cuyo producto de sus signos es positivo.
El intervalo solución es (-∞, -6) ∪ (1, 4]
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EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON 