Matrices – EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON

11 May, 2022 jorgeacmonge Matrices

Inversa de una matriz para resolver sistemas de ecuaciones.

Utilizando el Método de Gauss-Jordan para matrices de orden 2 y de orden 3.

Ejemplo a)

Resuelve el siguiente sistema $\begin{cases}2x & -3y = 7\\x & +4y = -2\end{cases}$

Definiendo las matrices A, X y C.

$A= \begin{bmatrix}2 & -3 \\1 & 4 \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ X= \begin{bmatrix}x \\y \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ C=\begin{bmatrix}7 \\-2\end{bmatrix}$

La matriz identidad $I_{n}$ para matrices de orden 2, o (2 x 2) es $=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ 0 \\ 0 & \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$

Aumentando la matriz A con la matriz identidad $I_{n}$ $=\begin{bmatrix}2 & -3 |1 & \ \ \ \ 0 \\1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 |0 & \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$

Efectuando operaciones con las filas de la matriz aumentada, para ir formando una matriz identidad $I_{n}$ en lado derecho y obtener la matriz inversa en el lado izquierdo.

Invirtiendo el orden de las filas de la matriz aumentada, para obtener el primer elemento de la matriz identidad.

$\Rightarrow \begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 |0 & \ \ \ \ 1\\2 & -3|1 & \ \ \ \ 0\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ 2F1-(F2)=\begin{bmatrix}1 & \ \ 4 |1 & 0 \\0 & \ \ \ \ 11 |-1 & 2 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F1- \frac{4}{11} (F2)=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 | \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\0 & \ \ \ \ 11 |-1 & 2 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ \frac{1}{11} (F2)=\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 | \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 |- \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ A^{-1} =\begin{bmatrix}\frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\- \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \end{bmatrix}$ Matriz Inversa.

$\Rightarrow \ \ A^{-1} =\begin{bmatrix}4 & \ \ \ \ 3 \\- 1 & \ \ \ \ 2 \end{bmatrix}$ Matriz Inversa simplificada.

Hallando los valores de las incógnitas aplicando la expresión $X=(A^{-1})(C)$

$\begin{bmatrix}4 & 3\\-1 & 2 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}7\\-2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}28-6 \\-7-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22 \\-11 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}$

$\ \ Si \ \ \ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \Rightarrow \ \ \ \ x=2 \ \ \ \ ; \ \ \ \ y=-1$

Nota: tomar en cuenta que las operaciones con los elementos de las filas de la matriz aumentada no son las mismas en una resolución de una matriz inversa que con otra. Ya que dependen de la posición en que se encuentren los elementos que contengan cada matriz.

______________________________________

Ejemplo b)

Resuelve el siguiente sistema $\begin{cases}x & \ \ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ y & \ \ \ -2z=-4\\2x & \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ y & -z= 1 \\ 3x & \ \ \ -\ \ 2y & +z= 7\end{cases}$

Definiendo las matrices A, X y C.

$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1\\3 & -2 & 1\end{bmatrix} \ \ \ \ , \ \ \ \ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix} \ \ \ \ , \ \ \ \ C=\begin{bmatrix}-4\\1\\7 \end{bmatrix}$

La matriz identidad $I_{n}$ para matrices de orden 3, o (3 x 3) es $=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ 0 \\ 0 & \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ 0 \\ 0 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$

Aumentando la matriz de orden 3 con la matriz identidad:

$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2|1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & \ -1|0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Efectuando operaciones con las filas de la matriz aumentada, para ir formando una matriz identidad $I_{n}$ en lado derecho y obtener la matriz inversa en el lado izquierdo.

$\Rightarrow \ \ -2(F1)+F2 \ \ \ \ \ \ \ \ y \ \ \ -3(F1)+F3\\=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2|1 & 0 & 0\\0 & -3 & 3|-2 & 1 & 0\\0 & -5 & \ \ \ 7|-3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ - \frac{1}{3} (F2)=\begin{bmatrix}1 & 1 & -2| 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ \ -1| \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & \ \ \ \ -5 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \7|-3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ -(F2)+F1 \ \ \ y \ \ \ 5(F2)+F3 \\=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1| \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -1| \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \ \ \ 2| \frac{1}{3} & -\frac{5}{3} & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ \frac{1}{2} (F3)=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1| \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -1| \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \ \ \ 1| \frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F3+F1 \ \ \ y \ \ \ \ F2+F2\\=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0| \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0| \frac{5}{6} & - \frac{7}{6} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1| \frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\ \ \ \ \ \frac{1}{2} \\ \frac{5}{6}&-\frac{7}{6}& \ \ \ \ \ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6}&-\frac{5}{6}& \ \ \ \ \ \frac{1}{2}\end{bmatrix}$ Matriz Inversa.

$\Rightarrow \ \ A^{-1}=\begin{bmatrix}3&-3& \ \ \ \ \ \ \ 3 \\ 5&-7& \ \ \ \ \ \ \ 3\\ 1&-5& \ \ \ \ \ \ \ 3 \end{bmatrix}$ Matriz Inversa simplificada.

$Si \ \ \ \ X= (A^{-1})(C) \Rightarrow$

$\begin{bmatrix}3&-3& \ \ \ 3 \\ 5&-7& \ \ \ 3 \\ 1&-5& \ \ \ 3 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}-4 \\1 \\ 7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-12-3+21 \\ -20-7+21 \\ -4-5+21 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 \\-6 \\ 12 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 \\-1 \\ 2 \end{bmatrix}$

$Si \ \ \ \ X=\begin{bmatrix}x \\y \\ z \end{bmatrix} \Rightarrow \ \ x=1 \ \ \ \ ; \ \ \ \ y=-1 \ \ \ \ ; \ \ \ \ z=2$

_______________________________________

Ejercicio 166.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de la inversa de una matriz.

$2) \ \ \ \begin{cases}7m & +9n = -10\\2n & -3m = 16\end{cases}$

$\begin{cases}7m & +9n = -10\\-3m & +2n=16 \end{case}$ Sistema ordenado.

$A= \begin{bmatrix}7 & \ \ \ \ \ 9 \\-3 & \ \ \ \ \ 2 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ X= \begin{bmatrix}m \\ n \end{bmatrix} \ \ \ \ , \ \ \ \ C= \begin{bmatrix}-10 \\ 16 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}7 & 9 |1 & \ \ \ \ 0 \\-3 & \ \ 2 |0 & \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$ Matriz compuesta.

$\Rightarrow 3(F1) +7(F2) =\begin{bmatrix}7 & \ \ \ \ \ \ 9 |1 & \ \ \ \ 0 \\0 & \ \ 41 |3 & \ \ \ \ 7 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 41(F1) -9(F2) =\begin{bmatrix}287 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 |14 & -63 \\ 0 & 41 |3 & \ \ \ \ 7 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{1}{287} (F1) =\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 | \frac{2}{41} & -\frac{9}{41} \\ 0 & 41 |3 & \ \ \ \ 7 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{1}{41} (F2) =\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ 0 | \frac{2}{41} & -\frac{9}{41} \\ 0 & \ \ \ \ \ 1 | \frac{3}{41} & \ \ \ \ \frac{7}{41} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix} \frac{2}{41} & -\frac{9}{41} \\ \frac{3}{41} & \ \ \ \ \frac{7}{41} \end{bmatrix}$ Matriz Inversa

$\Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix} 2 & -9 \\ 3 & \ \ \ \ 7 \end{bmatrix}$ Simplificada.

Hallando los valores de m y n :

$X = A^{-1}C$

$\begin{bmatrix}2 & -9 \\3 & \ \ \ \ \ \ \ \ 7 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}-10 \\ \ \ \ \ \ \ \ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-20 & -144 \\-30 & +112 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}-164\\182\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\2\end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ Si \ \ X=\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}\Rightarrow \ \ m=-4 \ \ \ \ ; \ \ \ \ n=2$

_________________________________________

$3) \ \ \ \begin{cases}6a & +7b = -4 \\ a & \ -2b = 31\end{cases}$

$A= \begin{bmatrix}6 & 7 \\1 & -2 \end{bmatrix} \ \ \ ; \ \ \ X= \begin{bmatrix}a \\b \end{bmatrix} \ \ \ ; \ \ \ C= \begin{bmatrix}-4 \\31 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}6 & \ \ \ \ \ \ \ \ 7 | 1 & \ \ \ \ \ \ 0 \\1 & -2| 0 & \ \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$ Matriz aumentada.

$\Rightarrow 6(F2)-F1= \begin{bmatrix}6 & \ \ \ \ \ \ 7 | 1 & \ \ \ \ \ \ 0 \\0 & -19| -1 & \ \ \ \ \ 6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 19(F2)+7(F2)= \begin{bmatrix}114 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 | 12 & \ \ \ \ 42 \\0 & -19| -1 & \ \ \ \ \ 6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{1}{114} (F1)-(F2)= \begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 | \frac{2}{19} & \ \ \ \ \frac{7}{19} \\0 & -19| -1 & \ \ \ \ \ 6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow -\frac{1}{19} (F2)+(F1)= \begin{bmatrix}1 \ \ \ \ \ \ & 0 | \frac{2}{19} & \ \ \ \ \frac{7}{19} \\0 \ \ \ \ \ \ & 1| \frac{1}{19} & \ \ \ \ \ - \frac{6}{19} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix}\frac{2}{19}&\ \ \ \ \frac{7}{19}\\ \frac{1}{19} &\ \ \ \ \ - \frac{6}{19}\end{bmatrix}\ \ Simplificado: \ \ A^{-1}=\begin{bmatrix}2 & 7 \\1 & -6 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ X= \big( A^{-1} \big) \big(C\big)$

$\begin{bmatrix}2 & 7 \\1 & -6 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}-4 \\31 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8+217 \\-4-186 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}209\\-190\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11 \\-10\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ \ Si \ \ \ X= \begin{bmatrix}m \\n \end{bmatrix} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ m=11 \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ n=-10$

________________________________________

$4) \ \ \ \ \begin{cases}a & -2b & \ \ +c= 12\\2a & +b & -c= 3\\a & -b & +3c= 13\end{cases}$

$A= \begin{bmatrix}1 & \ \ \ -2 &1 \\2 & \ \ \ 1 & -1\\ 1 & \ \ \ -1 & 3\end{bmatrix} \ \ \ \ ; \ \ \ \ X= \begin{bmatrix}a\\b\\c \end{bmatrix} \ \ \ ; \ \ \ C= \begin{bmatrix}12\\3\\13 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ -2 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|1 & 0 & 0 \\2 & 1 & -1|0 & 1 & 0\\ 1 & \ \ \ -1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3|0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ Matriz aumentada.

$\Rightarrow \ \ \ -2(F1)+F2 = \begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ -2 & \ \ 1|1 & \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ 0 \\0 & 5 & -3|-2 & \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ 0\\ 1 & \ \ \ -1 & \ \ 3|0 & \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ \ -(F1)+F3 = \begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ -2 & \ \ 1|1 & \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ 0 \\0 & 5 & -3|-2 & \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ 0\\ 0 & \ \ \ 1 & \ \ 2|-1 & \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ \ 2(F3)+F1 = \begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5| -1 & \ \ 0 & \ 2 \\0 & 5 & -3|-2 & \ \ 1 & \ \ 0\\ 0 & \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2|-1 & \ \ 0 & \ 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ -5(F3)+F2 = \begin{bmatrix}1 & \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5| -1 & 0 & \ 2 \\0 & 0 & -13|3 & 1 & -5\\ 0 & 1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2|-1 & 0 & \ 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \frac{F2}{-13} =\begin{bmatrix}1 & \ 0 & 5| -1 & 0 & \ 2 \\0 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ 1| -\frac{3}{13} & - \frac{1}{13} & \ \ \frac{5}{13} \\ 0 & 1 & 2|-1 & 0 & \ 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow -5(F2)+F1 =\begin{bmatrix}1 \ \ & 0 & 0| \frac{2}{13} & \frac{5}{13} & \frac{1}{13} \\0 & 0 & \ \ \ \ 1| -\frac{3}{13} & - \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \\ 0 & 1 & \ \ \ 2|-1 & 0 & 1\end{bmatrix}$

$\Rightarrow -2(F2)+F3=\begin{bmatrix}1 \ \ & 0 & 0| \frac{2}{13} & \frac{5}{13} & \frac{1}{13} \\0 & 0 & \ \ \ \ 1| -\frac{3}{13} & - \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \\ 0 & 1 & \ \ \ \ 0| -\frac{7}{13} & \frac{2}{13} & \frac{3}{13} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow F2 \downarrow F3 \ \ \ y \ \ \ F3 \uparrow F2=\begin{bmatrix}1 \ \ & 0 & 0| \frac{2}{13} & \frac{5}{13} & \frac{1}{13} \\0 & 1 & \ \ \ \ 0| -\frac{7}{13} & \frac{2}{13} & \frac{3}{13} \\ 0 & 0 & \ \ \ \ 1| -\frac{3}{13} & -\frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix}\frac{2}{13} & \frac{5}{13} & \frac{1}{13} \\ -\frac{7}{13} & \frac{2}{13} & \frac{3}{13} \\ -\frac{3}{13} & -\frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{bmatrix}$ Matriz Inversa.

$\Rightarrow A^{-1} =\begin{bmatrix}2 & 5 & 1 \\ -7 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ Matriz Inversa simplificada.

$\Rightarrow X= (A^{-1)}(C)$ (Para encontrar los valores de a, b y c)

$\Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 5 & 1 \\ -7 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 5 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}12 \\3 \\13\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24+15+1 \\ -84+6+39 \\ -36-3+65 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix}52 \\ -39 \\ 26\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \frac{52}{13} \\ -\frac{39}{13} \\ \frac{26}{13} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}4 \\ -3 \\ 2\end{bmatrix}$

$Si \ \ X= \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix} \Rightarrow a=4 \ \ \; \ \ \ b=-3 \ \ \ ;\ \ \ c=2$

_______________________________________

$5) \ \ \begin{cases}2x & -y & +3z = 5 \\ x & +4y & +z = 12 \\ 3x & -5y & -2z = 7 \end{cases}$

$\Rightarrow \ \ A=\begin{bmatrix}2&-1& 3 \\ 1&4& 1\\ 3&-5&-2 \end{bmatrix} \ \ \ ; \ \ \ X = \begin{bmatrix}x \\ y\\ z \end{bmatrix}\ \ \ ; \ \ \ C= \begin{bmatrix}5 \\ 12\\ 7 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2&-1& \ \ \ \ \ \ \ \ 3| 1 & 0 &0 \\ 1&4& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 |0 & 1 & 0\\ 3&-5&-2 |0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ Matriz aumentada

$-2(F2)+F1=\begin{bmatrix}0 & -9 & -1|1 & -2 & 0\\1 & \ \ \ \ \ \ \ 4 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 & 1 & 0\\3 & -5 & -2|0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$3(F2)+F3=\begin{bmatrix}0 & -9 & -1|1 & -2 & \ \ \ \ \ 0\\1 & \ \ \ \ \ \ \ 4 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 & \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ \ 0\\0 & -17 & -5|0 & -3 & \ \ \ \ \ 1 \end{bmatrix}$

$-1(F3)=\begin{bmatrix}0 & -9 & -1|1 & -2 & \ \ \ \ 0\\1 & \ \ \ \ 4 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 & \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 0\\0 & \ \ \ \ 17 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5|0 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

$-1(F1)+F2=\begin{bmatrix}0 &-9&1|1&-2& \ \ \ \ 0\\1& \ \ \ 13& \ \ \ \ \ \ \ \ 0|-1& \ \ \ \3 & \ \ \ \ \ \ 0\\0& \ \ \ 17& 5|0&3& -1 \end{bmatrix}$

$(-5(F1)+F3) \div 62=\begin{bmatrix}0 &-9&1|1&-2&\ \ \ 0\\1& \ \ 13&\ \ \ \ \ \ 0|-1&\ \ \ \ 3 &\ \ \ \ 0\\0&\ \ \ 1&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0|-\frac{5}{62}&\frac{13}{62}&-\frac{1}{62} \end{bmatrix}$

$9(F3)+F1=\begin{bmatrix}0& \ \ \ \ \ \ 0&1|\frac{17}{62}&-\frac{7}{62}&-\frac{9}{62}\\1& \ \ \ \ 13& \ 0|-1&3&0\\0& \ \ \ 1& \ \ \ \ \ \ \ \ 0|-\frac{5}{62}&\frac{13}{62}&-\frac{1}{62}\end{bmatrix}$

$-13(F3)+F2=\begin{bmatrix}0&0&1|\frac{17}{62}&-\frac{7}{62}&-\frac{9}{62}\\1&0&0| \frac{3}{62}&\frac{17}{62}&\frac{13}{62}\\0&1& \ \ \ \ \ \ \ 0|-\frac{5}{62}&\frac{13}{62}&-\frac{1}{62}\end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F2 \uparrow F1 \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ F3 \uparrow F2 \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ F1 \downarrow F3$

$=\begin{bmatrix}1&\ 0&0|\frac{3}{62}&\frac{17}{62}&\frac{13}{62}\\0&\ 1&\ \ \ \ \ \ \ 0|-\frac{5}{62}&\frac{13}{62}&-\frac{1}{62}\\0&\ 0&1|\frac{17}{62}&-\frac{7}{62}&-\frac{9}{62}\end{bmatrix}$ Se cambiaron de lugar las filas para obtener el sector de matriz de identidad y el sector de la matriz inversa.

$A^{-1} =\begin{bmatrix} \frac{3}{62} & \frac{17}{62} & \frac{13}{62} \\- \frac{5}{62} & \frac{13}{62} &- \frac{1}{62} \\ \frac{17}{62} &- \frac{7}{62} &- \frac{9}{62} \end{bmatrix}$ Matriz inversa.

$A^{-1} =\begin{bmatrix}3&17&13\\-5&13&-1\\17&-7&-9\end{bmatrix}$ Matriz inversa simplificada.

$\Rightarrow X= (A^{-1)}(C)$ ( para encontrar los valor de x, y, z)

$\Rightarrow \begin{bmatrix}3&17&13\\-5&13&-1\\17&-7&-9\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}5\\12\\7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15+204+91\\-25+156-7\\85-84-63\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}310\\124\\-62\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\\-1\end{bmatrix}$

$Si \ \ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \Rightarrow \ \ x=5 \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ y=2 \ \ \ \ \ \ ; \ \ \ \ \ \ z=-1$

_________________________________________

9 abril, 2022 jorgeacmonge Matrices

Matriz inversa por método de Gauss-Jordan.

Matriz Inversa es la matriz resultante de una matriz cuadrada «P« de orden n, por medio de un proceso operacional; y se denota como P^-1.

De la operación de P P^-1 resulta la matriz identidad I_n.

El método de Gauss consiste en juntar la matriz cuadrada de orden n con la matriz identidad, que luego de una serie de operaciones, se obtiene la matriz inversa.

El fin de las operaciones es convertir la matriz cuadrada en una matriz identidad y los elementos que resulten en el lugar en donde estaba la matriz identidad original, formaran la matriz inversa.

Si al final del proceso operacional algún elemento de la diagonal principal es cero; entonces la matriz no tiene inversa.

Ejemplo a)

Obtener R^-1 , si R = $\begin{bmatrix}2 & 1 \\1 & -3 \end{bmatrix}$

Aumentando la matriz y realizando las operaciones indicadas:

Se paso la primera fila como segunda y la segunda como primera para obtener con ello la diagonal principal de la nueva matriz identidad.

$\begin{bmatrix}1 & -3 | 0 & 1\\2 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 |1 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \ \ 2f1-(f2) = \begin{bmatrix}1 & -3 | 0 & 1\\ 0 & \ \ \ \ \ \ -7 |-1 & 2 \end{bmatrix}$

Se multiplicó toda la fila 1 por 2 y luego se suma la fila 2, pero con el signo cambiado, para obtener la nueva fila 2.

$\begin{bmatrix}1 & -3 | 0 & 1\\ 0 & \ \ \ \ \ \ -7 |-1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \ \ 7f1-3(f2) =\begin{bmatrix}7 & \ \ \ 0 | 3 & 1\\ 0 & -7 |-1 & 2 \end{bmatrix}$

Se multiplicó toda la fila 1 por 7 y luego se suma el producto de 3 por la fila 2 con el signo cambiado, para obtener la nueva fila 1.

$\begin{bmatrix}7 & \ \ \ 0 | 3 & 1\\ 0 & -7 |-1 & 2 \end{bmatrix}\ \ \rightarrow f1/7=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 0 | \frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & -7 |-1 & 2 \end{bmatrix}$

Se divide la fila 1 entre 7 para obtener el elemento de la diagonal principal en la fila 1.

$\begin{bmatrix}1 &\ \ \ 0|\frac{3}{7} & \frac{1}{7}\\ 0 & -7|-1 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow -(f2)/7=\begin{bmatrix}1 & 0|\frac{3}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & 1|\frac{1}{7} & - \frac{2}{7} \end{bmatrix}$

Se divide la fila 2 entre 7 para obtener el elemento de la diagonal principal en la fila 2.

$R^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{3}{7} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & -\frac{2}{7}\end{bmatrix}=\frac{1}{7}\begin{bmatrix}3 & \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \\1 & -2 \end{bmatrix} \ \ Solucion.$

De la matriz ampliada final sacamos la matriz inversa que buscábamos y la simplificamos para tener la solución final.

Si queremos comprobar si la matriz inversa es correcta basta con que multipliquemos la matriz original P por la matriz inversa obtenida P^-1, y nos dará la matriz identidad I_n.

Comprobación:

$R \bullet R^{-1}= I_{n} \rightarrow \begin{bmatrix}2 & \ \ 1 \\ 1 & \ \ -3 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \frac{3}{7} & \ \ \ \ \frac{1}{7} \\ \frac{1}{7} & \ \ \ \ -\frac{2}{7}\end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix}2(\frac{3}{7}) +1(\frac{1}{7}) & 2(\frac{1}{7} +1(- \frac{2}{7} )\\1(\frac{3}{7})-3(\frac{1}{7}) \ & 1(\frac{1}{7})-3(-\frac{2}{7}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ Solución es verdadera.

Ejemplo b)

Determina B^{-1 ,}si B= $\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 0\\ 4 & -2 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & 2 & -1\ \|1 & 0 & 0\\2 & 1 & \ \ \ 0|0 & 1 & 0\\4 & -2 & \ \ \ 3|0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \ \ 2F1-(F2)=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1|1 & 0 & 0\\0 & 3 & -2|2 & -1 & 0\\4 & -2 & \ \ \ 3|0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ 4F1-(F2)=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1|1 & 0 & 0\\0 & 3 & -2|2 & -1 & 0\\0 & 10 & -7|4 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ 10F2-3(F3)=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1|1 & 0 & 0\\0 & 3 & -2|2 & -1 & 0\\0 & 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|8 & -10 & 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F2+2(F3)=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ 2 & -1|1 & 0 & 0\\0 & \ \ \ \ \ 3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0|18 & -21 & 6\\0 & \ \ \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ 1|8 & -10 & 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F3/3=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ 2 & -1|1 & 0 & 0\\0 & \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0|6 & -7 & 2\\0 & \ \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|8 & -10 & 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F1+F3=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ 2 & 0|9 & -10 & 3\\0 & \ \ \ \ \ 1 & 0|6 & -7 & 2\\0 & \ \ \ \ \ \ 0 & \ 1|8 & -10 & 3 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F1-2(F2)=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0|-3 & 4 & -1 \\0 & \ \ \ \ \ 1 & 0|6 & -7 & 2 \\0 & \ \ \ \ \ \ 0 & \ 1|8 & -10 & 3 \end{bmatrix}$

$B^{-1}$ $\Rightarrow \begin{bmatrix}-3 & 4 & -1 \\6 & -7 & 2 \\ 8 & -10 & 3 \end{bmatrix} \ \ es \ \ la \ \ matriz \ \ inversa.$

________________________________________

$Ejercicio \ \ \ \ \ 165.$

Determinar la matriz inversa de las siguientes matrices:

$1) \ \ A= \begin{bmatrix}3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \\2 & \ \ -2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4 |1 & 0\\2 & -2|0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow F1/3 \ \ es =\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{4}{3}|\frac{1}{3} & 0\\2 & -2|0 & 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow -2(F1)+F2 \ \ es =\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{4}{3}| \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3} & 0\\0 & - \frac{14}{3} | \ -\frac{2}{3} & 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow -2(F1)+F2 \ \ es =\begin{bmatrix}1 \ \ \ \ \ \ \ & \frac{4}{3} | \ \ \frac{1}{3} & \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\0 & 1 | \ \frac{1}{7} & - \frac{3}{14} \end{bmatrix}$

$\rightarrow - \frac{4}{3} (F2)+F1 \ \ es =\begin{bmatrix}1 \ \ \ \ \ \ \ & 0 | \ \ \frac{1}{7}& \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{7} \\0 & 1 | \ \frac{1}{7} & - \frac{3}{14} \end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix} \frac{1}{7}& \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{7} \\\frac{1}{7} & - \frac{3}{14} \end{bmatrix} \ \ es \ \ la \ \ matriz \ \ inversa.$

Eliminamos denominadores por medio del m.c.d.:

$A^{-1}$ $= \frac{1}{14} \ \ \bullet \ \ \begin{bmatrix} 2& \ \ \ \ \ \ \ \ 4 \\2 & -3 \end{bmatrix} \ \ es \ \ la \ \ matriz \ \ inversa \ \ simplificada.$

________________________________________

$2) \ \ B= \begin{bmatrix}-1 & \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ 5 & \ \ \ \ \ \ 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-1 & \ \ 0 |1 & \ \ \ \ \ \ 0 \\5 & \ \ \ \ 2 |0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \ \ -1(F1)=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ 0 |-1 & \ \ \ \ \ 0 \\5 & 2 | 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ 5(F1)+F2=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ 0 |-1 & \ \ \ \ \ 0 \\0 & 2 | 5 & 1 \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \ \ F2/2=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ \ \ \ \ 0 |-1 & \ \ \ \ \ 0 \\0 & 1 | \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix}-1 & \ \ \ \ \ 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ es \ \ la \ \ matriz \ \ \ inversa \ \ B^{-1}.$

$\Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \ \ \begin{bmatrix}-2 & \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5 & 1 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ es \ \ la \ \ matriz \ \ \ inversa \ \ simplificada.$

_________________________________________

$3) \ \ C= \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & \ \ \ \ \ 2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & -1|1&\ \ \ 0\\-3&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2|0 &\ \ 1\end{bmatrix}\rightarrow F1/2=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}|\frac{1}{2}& \ \ 0\\-3&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2|0 & \ \ 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow 3(F1)+F2=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}|\frac{1}{2}& \ \ 0\\0&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2} | \frac{3}{2} & \ \ 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow F2/2=\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}|\frac{1}{2}& \ \ 0\\0&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 | 3 & \ \ 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow F2/2+F1=\begin{bmatrix}1& \ \ \ \ \ \ 0|2& \ \ \ \ \ \ 1 \\0&\ \ \ \ \ \ \ 1 | 3 & \ \ \ \ \ \ 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix}2& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \\ 3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\end{bmatrix}= matriz \ \ inversa.$

________________________________________

$4) \ \ D= \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} \\ 2 & \ \ \ \ \ 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}|1 & 0\\ 2&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 &1\end{bmatrix}\rightarrow F1/2=\begin{bmatrix}1&-\frac{2}{3}|2 & 0\\2 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|0 & 1\end{bmatrix}$

$\rightarrow -2(F1)+F2=\begin{bmatrix} 1 & \ \ \ -\frac{2}{3} | \ 2 & 0 \\0& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{7}{3} |-4 & 1 \end{bmatrix}$

$\rightarrow \frac{2}{3}(F2)+F1=\begin{bmatrix}1&0| \frac{6}{7} & \ \ \frac{2}{7} \\0&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|- \frac{12}{7}&\ \ \ \ \ \frac{3}{7}\end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix}\frac{6}{7} & \ \ \frac{2}{7} \\- \frac{12}{7}&\ \ \ \ \ \frac{3}{7}\end{bmatrix} \ \ matriz \ \ inversa \ \ D^{-1}$

$\rightarrow D^{-1}= \frac{1}{7} \begin{bmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6 & \ \ 2\\- 12&\ \ \ \ \ 3\end{bmatrix} \ \ matriz \ \ inversa \ \ simplificada.$

________________________________________

5) $E= \begin{bmatrix} 2 \ \ \ & 1 & -1 \\ -1 \ \ \ & \ \ 1 \ \ \ & 2 \\ 1 \ \ \ & 2 & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 \ & 1 & -1|1 & 0 & 0 \\ -1 & \1 & \ \ 2|0 & 1 & 0 \\ 1 \ & 2 & -1|0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow F1+2(F2)= \begin{bmatrix} 2 \ & 1 & -1|1 & 0 & 0 \\0 \ & 3 \ & \ \ 3|1 & 2 & 0 \\ 1 \ & 2 & -1|0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\rightarrow F2-2(F1)= \begin{bmatrix} 2 \ & 1 & -1|1 & \ \ \ \ \ \ 0 & 0 \\0 & 3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3|1 & \ \ \ \ \ \ 2 & 0 \\ 0 & -3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1|1 & \ \ \ \ \ \ 2 & -2 \end{bmatrix}$

$\rightarrow F3+F2=\begin{bmatrix} 2 \ \ \ \ \ \ & 1 & -1|1 & \ \ \ \ \ \ 0 & 0 \\0 & 3 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3|1 & \ \ \ \ \ \ 2 & 0 \\ 0 & 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4|2 & \ \ \ \ \ \ 2 & -2\end{bmatrix}$

$\rightarrow 4(F2)-3(F3)=\begin{bmatrix} 2 & \ \ \ \ \ \ \ 1 & -1| \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 &\ \ \ \ 0 & 0 \\0 & 12 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0|-2 &\ \ \ \ 2 & 6 \\ 0 & \ \ \ 0 & 4|\ \ 2 &\ \ 2 & -2\end{bmatrix}$

$\rightarrow F2-12(F1)=\begin{bmatrix}24 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12| -14 &\ \ 2 & 6 \\0 & 12 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0| -2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 &4| 2 & 2 & -2\end{bmatrix}$

$\rightarrow F1-3(F3)=\begin{bmatrix}24 & \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0| -20 &\ \ -4 & 12 \\0 & 12 & \ \ \ \ \ \ \ 0| -2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 &4| 2 & 2 & -2\end{bmatrix}$

$\rightarrow \begin{bmatrix}F1/24\\F2/12 \\ F3/4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 & \ \ \ \ 0|-\frac{5}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\0 & \ \ 1 & \ \ \ \ 0|-\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2}\\ 0 & 0 & \ \ 1| \ \ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$

$\rightarrow\begin{bmatrix}-\frac{5}{6}&\ \ \ \frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\ \ \frac{1}{6}&\ \ \ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}= matriz\ inversa\ E^{-1}$

$\rightarrow\ D^{-1}= \frac{1}{6} \begin{bmatrix}-5&\ \ \ \ \ \ 1&-3 \\ -1&\ \ \ \ \ \ 1&3\\3&\ \ \ \ \ \ 3&-3\end{bmatrix}= matriz\ inversa\ simplificada.$

________________________________________

15 febrero, 2021 jorgeacmonge Matrices

Determinante de una matriz.

El determinante de una matriz de orden «n», es un número escalar relacionado con la matriz, mediante una regla operacional; denotada detA = |A|.

Propiedades de una matriz:

1) Si se intercambian dos renglones de una matriz a de orden n, el determinante de la matriz que resulta es detA = -detA.

2) Si son ceros todos los elementos de un renglón o columna de una matriz A de orden n, entonces la matriz resultante es detA = 0.

3) Si 2 renglones son iguales de una matriz de orden n, entonces la matriz que resulta es detA = 0.

4) Si se tiene una matriz AS de orden n, ya sea matriz triangular superior o inferior, entonces detA = producto de los elementos de la diagonal principal.

5) Si un renglón de una matriz se multiplica por un escalar, entonces detA = 2detA.

6) Si A y B so matrices de orden n, entonces detAB = (detA)(detB).

Ejemplos:

a) Efectúa la regla operacional para una matriz y verifica la propiedad 2: si $A=\begin{bmatrix} _{1}& _{-3}\\ _{0} & _{0} \end{bmatrix}$

$detA=\begin{bmatrix} _{1}& _{-3}\\ _{0} & _{0} \end{bmatrix} = (1)(0) - (0)(3) = 0 - 0 = 0$ Solución.

Si se verifica la propiedad 2.

b) Encuentra la determinante y verifica la propiedad 4 de $A=\begin{bmatrix} _{5}& _{1}\\ _{0} & _{4} \end{bmatrix}$

$detA=\begin{bmatrix} _{5}& _{1}\\ _{0} & _{4} \end{bmatrix}= (5)(4)- (0)(1) = 20 + 0 = 20$

Verificando la propiedad 4, el producto de la diagonal principal es (5)(4) = 20

c) Encuentra la determinante y verifica la propiedad 3 de $A=\begin{bmatrix} _{1}& _{2}& _{3}\\ _{2} & _{3}& _{4}\\ _{1} & _{2}& _{3} \end{bmatrix}$

$detA=\begin{bmatrix} _{1}& _{3}& _{2}\\ _{2} & _{3}& _{4}\\ _{1} & _{3}& _{2}\\ _{1} & _{3}& _{2}\\ _{2} & _{3}& _{4} \end{bmatrix}$

$=(1)(3)(2)+(2)(3)(2)+(1)(3)(4) - (1)(3)(2)-(1)(3)(4)-(2)(3)(2)$

$= 6+12+12 -6-12-12=0$ Solución.

Se verifica la propiedad 3, que dice que si hay 2 renglones iguales en la matriz original, el determinante es igual a cero (0).

Ejercicio 164.

Encuentra la determinante de las siguientes matrices:

1) $A=\begin{bmatrix} _{2}& _{-3}\\ _{4} & _{5} \end{bmatrix}$

$detA=\begin{bmatrix} _{2}& _{-3}\\ _{4}& _{5} \end{bmatrix}= (2)(5) -(4)(-3) =10-(-12) = 10+12=22$ Solución.

2) $B=\begin{bmatrix} _{-2}& _{6}\\ _{1}& _{-7} \end{bmatrix}$

$detB=\begin{bmatrix} _{-2}& _{6}\\ _{1}& _{-7} \end{bmatrix}=(-2)(-7)-(1)(6)=14-6=8$ Solución.

5) $D=\begin{bmatrix} _{-2}& _{-5}& _{-1}\\ _{-4} & _{-1}& _{-3}\\ _{1} & _{0}& _{-6} \end{bmatrix}$

$=(-2)(-1)(-6)+(-4)(0)(-1)+(1)(-5)(-3) - (-4)(-5)(-6)-(-2)(0)(-3)-(1)(-1)(-1)$

$=(-12) +(0)+(15)-(-120)-(0)-(1)=-12+0+15+120-0-1=135-13=122$ Solución.

4 febrero, 2021 jorgeacmonge Matrices

Multiplicación de Matrices.

Procedimiento:

Este varía según el número de operaciones a realizar de acuerdo al número de renglones y de columnas de las matrices que se multiplican.

1) Se multiplica cada renglón de la 1ª matriz por cada una de las columnas de la 2ª matriz.

El primer elemento del renglón de una matriz, es el que está al extremo derecho del renglón.

El primer elemento de la columna de una matriz es el que está al extremo superior de la columna.

(el primer elemento del primer renglón por el primer elemento de la primera columna más el 2º elemento del primer renglón por el 2º elemento de la primera columna; estos resultados se agregan al primer renglón de la nueva matriz). Este proceso continua según el número de renglones que tenga la primera matriz y/o el número de columnas que tenga la segunda matriz.

2) La nueva matriz tendrá el mismo número de renglones de la 1ª matriz y el mismo número de columnas que la 2ª matriz.

Ejemplo:

Realiza la multiplicación de $A=\begin{bmatrix} _{2} & _{3}\\ _{5} & _{4} \end{bmatrix} \ \ , \ \ \ y \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{2} & _{0} & _{3}\\ _{-1} & _{1} & _{5} \end{bmatrix}$

Multiplicando el primer renglón por cada una de las columnas de la otra matriz.

Multiplicando el segundo renglón por cada una de las columnas de la otra matriz.

$AB=\begin{bmatrix} _{2} & _{3}\\ _{5} & _{4} \end{bmatrix} \ \ \begin{bmatrix} _{2} & _{0}& _{3}\\ _{-1} & _{1}& _{5} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{2(2)+3(-1)} & _{2(0)+3(1)}& _{2(3)+3(5)}\\ _{5(2)+4(-1)} & _{5(0)+4(1)}& _{5(3)+4(5)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{4-3} & _{0+3}& _{6+15}\\ _{10-4} & _{0+4}& _{15+20} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{1} & _{3}& _{21}\\ _{6} & _{4}& _{35} \end{bmatrix}$ Solución.

Ejercicio 163.

Determina AB , BA , A(B-2C) , A(BC) en las siguientes matrices, en caso de ser posible:

1) $A=\begin{bmatrix} _{5} & _{7}\\ \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{1} \\ _{-1} \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} _{5} & _{7} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{1} \\ _{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5(1)} & _{7(-1)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5-7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-2} \end{bmatrix}$ Solución.

$BA=\begin{bmatrix} _{1} \\ _{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{5} & _{7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{1(5} & _{-1(7)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5-7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-2} \end{bmatrix}$ Solución.

2) $A=\begin{bmatrix} _{3} & _{0} & _{-1} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1}\\ _{0} & _{2} \\ _{1} & _{2} \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} _{3} & _{0} & _{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1}\\ _{0} & _{2} \\ _{1} & _{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} _{3(2)+0(0)+-1(1)} & _{3(-1)+0(2)+-1(2)} \end{bmatrix}$

= $=\begin{bmatrix} _{6+0-1} & _{-3+0-2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5} & _{-5} \end{bmatrix}$ Solución.

4) $A=\begin{bmatrix} _{1} & _{2}& _{3}\\ _{3} & _{2}& _{1} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{0} & _{-1}& _{-2}\\ _{-2} & _{0}& _{-1} \\ _{-1} & _{-2}& _{0} \end{bmatrix}$

AB $=\begin{bmatrix} _{1} & _{2}& _{3}\\ _{3} & _{2}& _{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} _{0} & _{-1}& _{-2}\\ _{-2} & _{0}& _{-1} \\ _{-1} & _{-2}& _{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{1(0)+2(-2)+3(-1)} & _{1(-1)+2(0)+3(-2)}& _{1(-2)+2(-1)+3(0)}\\ _{3(0)+2(-2)1(-1)} & _{3(-1)+2(0)+1(-2)}& _{3(-2)+2(-1)+1(0)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{0-4-3} & _{-1+0-6}& _{-2-2+0}\\ _{0-4-1} & _{-3+0-2}& _{-6-2+0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-7} & _{-7}& _{-4}\\ _{-5} & _{-5}& _{-8} \end{bmatrix}$ Solución.

7) $A=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}, \ \ B=\begin{bmatrix} _{0}& _{2}\\ _{-1} & _{3}\\ _{1} & _{1} \end{bmatrix} \ \ y \ \ C=\begin{bmatrix} _{1}& _{2}\\ _{3} & _{4} \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{0}& _{2}\\ _{-1} & _{3}\\ _{1} & _{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5(0)+4(-1)+3(1)}& _{5(2)+4(3)+3(1)}\\ _{2(0)+1(-1)+0(1)} & _{2(2)+1(3)+0(1)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{0-4+3}& _{10+12+3}\\ _{0-1+0} & _{4+3+0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-1}& _{25}\\ _{-1} & _{7} \end{bmatrix}$ Solución.

$BA=\begin{bmatrix} _{0}& _{2}\\ _{-1} & _{3}\\ _{1} & _{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{0(5)+2(2)}& _{0(4)+2(1)}& _{0(3)+2(0)}\\ _{-1(5)+3(2)} & _{-1(4)+3(1)}& _{-1(3)+3(0)}\\ _{1(5)+1(2)} & _{1(4)+1(1)}& _{1(3)+1(0)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{0+4}& _{0+2}& _{0+0}\\ _{-5+6} & _{-4+3}& _{-3+0}\\ _{5+2} & _{4+1}& _{3+0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{4}& _{2}& _{0}\\ _{1} & _{-1}& _{-3}\\ _{7} & _{5}& _{3} \end{bmatrix}$ Solución.

$A(BC)=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}\big(\begin{bmatrix} _{0}& _{2}\\ _{-1} & _{3}\\ _{1} & _{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{1}& _{2}\\ _{3} & _{4} \end{bmatrix}\big)$

$=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{0(1)+2(3)}& _{0(2)+2(4)}\\ _{-1(1)+3(3)} & _{-1(2)+3(4)}\\ _{1(1)+1(3)} & _{1(2)+1(4)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{0+6}& _{0+8}\\ _{-1+9} & _{-2+12}\\ _{1+3} & _{2+4} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{5}& _{4}& _{3}\\ _{2} & _{1}& _{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{6}& _{8}\\ _{8} & _{10}\\ _{4} & _{6} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5(6)+4(8)+3(4)}& _{5(8)+4(10)+3(6)}\\ _{2(6)+1(8)+0(4)} & _{2(8)+1(10)+0(6)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{30+32+12}& _{40+40+18}\\ _{12+8+0} & _{16+10+0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{74}& _{98}\\ _{20}& _{26} \end{bmatrix}$ Solución.

8) $A=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} , \ B=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix} \ y \ \ C=\begin{bmatrix} _{1} & _{0}\\ _{2} & _{-1} \end{bmatrix}$

$AB=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} _{3(3)+1(2)} & _{3(1)+1(0)}\\ _{2(3)+-1(2)} & _{2(1)+-1(0)} \\ _{0(3)+1(2)} & _{0(1)+1(0)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{9+2)}& _{3+0}\\ _{6-2} & _{2+0}\\ _{0+2} & _{0+0)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{11}& _{3}\\ _{4} & _{2}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}$ Solución.

$A(B-2C)=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \big(\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}- \big\{2\begin{bmatrix} _{1} & _{0}\\ _{2} & _{-1} \end{bmatrix}\big\} \big)\$

$=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \big(\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} _{2} & _{0}\\ _{4} & _{-2} \end{bmatrix} \big)=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \big(\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}+ (-1)\begin{bmatrix} _{2} & _{0}\\ _{4} & _{-2} \end{bmatrix} \big)$

$=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \big(\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} _{-2} & _{0}\\ _{-4} & _{2} \end{bmatrix} \big)=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} _{1} & _{1}\\ _{-2} & _{2} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{3(1)+1(-2)} & _{3(1)+1(2)}\\ _{2(1)+-1(-2)} & _{2(1)+-1(2)} \\ _{0(1)+1(-2)} & _{0(1)+1(2)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{3-2} & _{3+2}\\ _{2+2} & _{2-2} \\ _{0-2} & _{0+2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{1} & _{5}\\ _{4} & _{0} \\ _{-2} & _{2} \end{bmatrix}$ Solución.

$A(BC)=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix}\big(\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{1} & _{0}\\ _{2} & _{-1} \end{bmatrix}\big)$

$=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{3(1)+1(2)} & _{3(0)+1(-1)}\\ _{2(1)+0(2)} & _{2(0)+0(-1)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{3} & _{1}\\ _{2} & _{-1} \\ _{0} & _{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{3+2} & _{0-1}\\ _{2+0} & _{0+0)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{3}& _{1}\\ _{2} & _{-1}\\ _{0} & _{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} _{5}& _{-1}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{3(5)+1(2)}& _{3(-1)+1(0)}\\ _{2(5)+-1(2)} & _{2(-1)+-1(0)}\\ _{0(5)+-1(2)} & _{0(-1)+-1(0)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{15+2}& _{-3+0}\\ _{10-2} & _{-2+0}\\ _{0+2} & _{0+0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{17}& _{-3}\\ _{8} & _{-2}\\ _{2} & _{0} \end{bmatrix}$ Solución.

24 enero, 202124 enero, 2021 jorgeacmonge Matrices

Multiplicación por escalar, suma, inverso aditivo y resta, de una matriz.

Escalar es un número real que multiplica a una magnitud, en este caso a una matriz, dando como resultado otra matriz equivalente, llamada matriz escalar.

_____________________________________________

Procedimiento:

1) Se multiplica el escalar por cada uno de los elementos de la matriz.

2) Cada uno de los productos se colocan en otra matriz en la posición en que se encuentran en la matriz multiplicada.

3) La matriz escalar será la solución.

Ejemplos:

a) Si $A=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1} \\ _{4} & _{6} \\ _{0} & _{-2} \\ _{1} & _{3} \end{bmatrix}$ Determina 3A

$3A=3\begin{bmatrix} _{2} & _{-1} \\ _{4} & _{6} \\ _{0} & _{-2} \\ _{1} & _{3} \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} _{3(2)} & _{3(-1)} \\ _{3(4)} & _{3(6)} \\ _{3(0)} & _{3(-2)} \\ _{3(1)} & _{3(3)} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{6} & _{-3} \\ _{12} & _{18} \\ _{0} & _{-6} \\ _{3} & _{9} \end{bmatrix}$ Solución.

b) Si $B= \begin{bmatrix} _{6} & _{-3} & _{4} \\ _{5} & _{-2} & _{1} \end{bmatrix}$ encuentra 1/2B

$\frac{1}{2} B= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} _{6} & _{-3} & _{4} \\ _{5} & _{-2} & _{1} \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} _{ \frac{1}{2}(6)} & _{ \frac{1}{2}(-3)} & _{ \frac{1}{2}(4)} \\ _{ \frac{1}{2}(5)} & _{ \frac{1}{2} (-2)} & _{ \frac{1}{2}(1)} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} _{ 3} & _{- \frac{3}{2}} & _{2} \\ _{ \frac{5}{2}} & _{-1} & _{ \frac{1}{2}} \end{bmatrix}$ Solución.

Suma de matrices.

!) Se suma cada elemento de una matriz con su semejante en posición de la otra matriz.

2) Esos totales se colocan en una nueva matriz en la misma posición de los elementos sumados.

3) La nueva matriz será la solución.

Ejemplo a:

Sean las matrices $A=\begin{bmatrix} _{3} & _{6} \\ _{2} & _{4} \\ _{-1} & _{0} \\ \end{bmatrix} \ \ \ \ \ y \ \ B=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1} \\ _{6} & _{-7} \\ _{4} & _{0} \\ \end{bmatrix}$ determina A + B

$A+B=\begin{bmatrix} _{3} & _{6} \\ _{2} & _{4} \\ _{-1} & _{0} \\ \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} _{2} & _{-1} \\ _{6} & _{-7} \\ _{4} & _{0} \\ \end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix} _{3+2} & _{6+(-1)} \\ _{2+6} & _{4+(-7)} \\ _{-1+4} & _{0+0} \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} _{5} & _{5} \\ _{8} & _{-3} \\ _{3} & _{0} \\ \end{bmatrix}$ Solución.

______________________________________________

Ejemplo b:

Sean las matrices

$C=\begin{bmatrix} _{5} & _{-2} & _{6} & _{-3}\\ _{-2} & _{8} & _{-7} & _{8} \end{bmatrix} \ \ \ y \ \ \ D=\begin{bmatrix} _{-1} & _{-4} & _{8} & _{-5}\\ _{6} & _{2} & _{1} & _{-7} \end{bmatrix}$ determinar 3C+2D

$3C+2D=3\begin{bmatrix} _{5} & _{-2} & _{6} & _{-3}\\ _{-2} & _{8} & _{-7} & _{8} \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} _{-1} & _{-4} & _{8} & _{-5}\\ _{6} & _{2} & _{1} & _{-7} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{3(5)} & _{3(-2)} & _{3(6)} & _{3(-3)}\\ _{3(-2)} & _{3(8)} & _{3(-7)} & _{3(8)} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{2(-1)} & _{2(-4)} & _{2(8)} & _{2(-5)}\\ _{2(6)} & _{2(2)} & _{2(1)} & _{2(-7)} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{15} & _{-6} & _{18} & _{-9)}\\ _{-6} & _{24} & _{-21} & _{24} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{-2} & _{-8} & _{16} & _{-10}\\ _{12} & _{4} & _{2} & _{-14} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{13} & _{-14} & _{34} & _{-19)}\\ _{6} & _{28} & _{-19} & _{24} \end{bmatrix}$ Solución.

Inverso Aditivo.

El inverso aditivo de una matriz A es -A. Se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de la matriz A por -1. Y que al verificar A+(-A) = 0

Ejemplo:

Obtener la matriz inverso aditivo de A y de B:

Siendo $A=\begin{bmatrix} _{-3} & _{-5}\\ _{7} & _{-2} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1}& _{0}\\ _{-4} & _{5}& _{7} \\ _{-10} & _{1}& _{3} \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} _{-3 } & _{-5}\\ _{7} & _{-2} \end{bmatrix} \Rightarrow -A= (-1)\begin{bmatrix} _{-3} & _{-5}\\ _{7} & _{-2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-1(-3)} & _{-1(-5)}\\ _{-1(7)} & _{-1(-2)} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow -A=\begin{bmatrix} _{3} & _{5}\\ _{-7} & _{2} \end{bmatrix}$ Solución.

$B=\begin{bmatrix} _{2} & _{-1}& _{0}\\ _{-4} & _{5}& _{7} \\ _{-10} & _{1}& _{3} \end{bmatrix} \Rightarrow -B =(-1)\begin{bmatrix} _{2} & _{-1}& _{0}\\ _{-4} & _{5}& _{7} \\ _{-10} & _{1}& _{3} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{-1(2)} & _{-1(-1)}& _{-1(0)}\\ _{-1(-4)} & _{-1(5)}& _{-1(7)} \\ _{-1(-10)} & _{-1(1)}& _{-1(3)} \end{bmatrix} \Rightarrow -A=\begin{bmatrix} _{-2} & _{1}& _{0}\\ _{4} & _{-5}& _{-7} \\ _{10} & _{-1}& _{-3} \end{bmatrix}$ Solución.

Verificando A +(-A)

$A+(-A)=\begin{bmatrix} _{-3} & _{-5}\\ _{7} & _{-2} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} _{3} & _{5}\\ _{-7} & _{2} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{-3+3} & _{-5+5}\\ _{7+(-7)} & _{-2+2} \end{bmatrix} \Rightarrow A+(-A)=\begin{bmatrix} _{0} & _{0}\\ _{0} & _{0} \end{bmatrix}$ Solución.

Resta de matrices.

Para efectuar la resta de dos matrices, se multiplica la segunda matriz por el escalar -1; entonces se suman la primera con la nueva segunda.

Ejemplo:

a) Encuentra A – B, si $A=\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{1} & _{5} \end{bmatrix} \ \ \ y \ \ \ B=\begin{bmatrix} _{2} & _{-5}\\ _{4} & _{2} \end{bmatrix}$

$A+(-B)=\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{1} & _{5} \end{bmatrix} +(-1)\begin{bmatrix} _{2} & _{-5}\\ _{4} & _{2} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{1} & _{5} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} _{-2} & _{5}\\ _{-4} & _{-2} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow A -B =\begin{bmatrix} _{0} & _{1}\\ _{-3} & _{3} \end{bmatrix}$ Solución.

b) Sean las matrices $M =\begin{bmatrix} _{-3} & _{1}\\ _{4} & _{5}\\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \ \ \ \ y \ \ \ N=\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{-1} & _{0}\\ _{0} & _{3} \end{bmatrix}$

Determinar 3M – 2N

$3M =3\begin{bmatrix} _{-3} & _{1}\\ _{4} & _{5}\\ _{0} & _{1} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ y \ \ \ \ \ 2N=2\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{-1} & _{0}\\ _{0} & _{3} \end{bmatrix}$

$=3\begin{bmatrix} _{-3} & _{1}\\ _{4} & _{5}\\ _{0} & _{1}\end{bmatrix} \ \ y \ \ 2\begin{bmatrix} _{2} & _{-4}\\ _{-1} & _{0}\\ _{0} & _{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{-9} & _{3}\\ _{12} & _{15}\\ _{0} & _{3}\end{bmatrix} \ \ y \ \ \begin{bmatrix} _{4} & _{-8}\\ _{-2} & _{0}\\ _{0} & _{6}\end{bmatrix}$

$\Rightarrow M + (-N)=\begin{bmatrix} _{-9} & _{3}\\ _{12} & _{15}\\ _{0} & _{3}\end{bmatrix} \ \ + \ \ \ \ (-1) \ \ \begin{bmatrix} _{4} & _{-8}\\ _{-2} & _{0}\\ _{0} & _{6}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{-9} & _{3}\\ _{12} & _{15}\\ _{0} & _{3} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{-4} & _{8}\\ _{2} & _{0}\\ _{0} & _{-6} \end{bmatrix}$

$\Rightarrow 3M - 2N =\begin{bmatrix} _{-13} & _{11}\\ _{14} & _{15}\\ _{0} & _{-3}\end{bmatrix}$ Solución.

Ejercicio 162.

Para las siguientes matrices, efectúa:

A+B, A-B, A-A, 4A-3B, 2A-0B

4) $A=\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} \ \ , \ \ \ \ B= \ \ \ \begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}$

-> A + B = $\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{3} & _{-9}& _{3}\\ _{1} & _{-4}& _{8} \end{bmatrix}$

-> A – B = $\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} +(-1) \begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{-1} & _{6}& _{-4}\\ _{3} & _{-2}& _{-7} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{1} & _{3}& _{-5}\\ _{7} & _{-8}& _{-6} \end{bmatrix}$

-> A-A = $\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} +(-1) \begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} _{-2} & _{3}& _{1}\\ _{-4} & _{6}& _{-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{0} & _{0}& _{0}\\ _{0} & _{0}& _{0} \end{bmatrix}$

-> 4A-3B= $4\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ 3\begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}=$

$=\begin{bmatrix} _{8} & _{-12}& _{-4}\\ _{16} & _{-24}& _{4} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} _{3} & _{-18}& _{12}\\ _{-9} & _{6}& _{21} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{8} & _{-12}& _{-4}\\ _{16} & _{-24}& _{4} \end{bmatrix} +(-1) \begin{bmatrix} _{3} & _{-18}& _{12}\\ _{-9} & _{6}& _{21} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{8} & _{-12}& _{-4}\\ _{16} & _{-24}& _{4} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} _{-3} & _{18}& _{-12}\\ _{9} & _{-6}& _{-21} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{5} & _{6}& _{-16}\\ _{25} & _{-30}& _{-17} \end{bmatrix}$

-> 2A-0B= $2\begin{bmatrix} _{2} & _{-3}& _{-1}\\ _{4} & _{-6}& _{1} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ 0\begin{bmatrix} _{1} & _{-6}& _{4}\\ _{-3} & _{2}& _{7} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{4} & _{-6}& _{-2}\\ _{8} & _{-12}& _{2} \end{bmatrix} \ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ 0=\begin{bmatrix} _{4} & _{-6}& _{-2}\\ _{8} & _{-12}& _{2} \end{bmatrix}$

{Cualquier magnitud (matriz) multiplicada por cero (0) es igual a cero (0)

y cualquier magnitud (matriz) sumada o restada de cero (0) es igual a la magnitud}

5) $A=\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix} \ \ y \ \ B=\begin{bmatrix} _{-1} & _{ \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{ \frac{2}{3} } & _{ \frac{4}{5} }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

A+B= $\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} _{-1} & _{ \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{ \frac{2}{3} } & _{ \frac{4}{5} }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{- \frac{3}{5} } & _{ \frac{16}{3} }& _{ \frac{1}{8} }\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-2}& _{10}\\ _{ \frac{23}{3} } & _{1 }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

A-B= $\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} _{-1} & _{ \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{ \frac{2}{3} } & _{ \frac{4}{5} }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+ \ \ \ (-1)\begin{bmatrix} _{-1} & _{ \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{ \frac{2}{3} } & _{ \frac{4}{5} }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} _{1} & _{ - \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{- \frac{1}{3} } & _{5}& _{-8}\\ _{- \frac{2}{3} } & _{-\frac{4}{5} }& _{ \frac{3}{2} } \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} _{ \frac{7}{5} } & _{ \frac{14}{3} }& _{ \frac{1}{8} }\\ _{- \frac{1}{3} } & _{8}& _{-6}\\ _{ \frac{19}{3} } & _{- \frac{3}{5} }& _{ \frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

A-A= $\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+ \ (-1)\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} _{- \frac{2}{5} } & _{-5}& _{- \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{-3}& _{-2}\\ _{-7} & _{- \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{0 } & _{0}& _{0 }\\ _{0} & _{0}& _{0}\\ _{0} & _{0 }& _{0} \end{bmatrix}$

4A-3B= $4\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}- \ \ 3\begin{bmatrix} _{- 1 } & _{ \frac{1}{3} }& _{0}\\ _{ \frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{ \frac{2}{3} } & _{ \frac{4}{5} }& _{- \frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{ \frac{8}{5} } & _{20}& _{ \frac{1}{2} }\\ _{0} & _{12}& _{8}\\ _{28} & _{ \frac{4}{5} }& _{0} \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} _{- 3 } & _{ 1 }& _{0}\\ _{1 } & _{-15}& _{24}\\ _{2 } & _{ \frac{12}{5} }& _{- \frac{9}{2} } \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} _{ \frac{8}{5} } & _{20}& _{ \frac{1}{2} }\\ _{0} & _{12}& _{8}\\ _{28} & _{ \frac{4}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+ (-1) \begin{bmatrix} _{- 3 } & _{ 1 }& _{0}\\ _{1 } & _{-15}& _{24}\\ _{2 } & _{ \frac{12}{5} }& _{- \frac{9}{2} } \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{ \frac{8}{5} } & _{20}& _{ \frac{1}{2} }\\ _{0} & _{12}& _{8}\\ _{28} & _{ \frac{4}{5} }& _{0} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} _{3} & _{ -1 }& _{0}\\ _{-1} & _{15}& _{-24}\\ _{-2} & _{-\frac{12}{5} }& _{ \frac{9}{2} } \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} _{ \frac{23}{5} } & _{19 }& _{ \frac{1}{2} }\\ _{-1} & _{27}& _{-16}\\ _{26} & _{- \frac{8}{5} }& _{ \frac{9}{2} } \end{bmatrix}$

2A-0B= $2\begin{bmatrix} _{ \frac{2}{5} } & _{5}& _{ \frac{1}{8} }\\ _{0} & _{3}& _{2}\\ _{7} & _{ \frac{1}{5} }& _{0} \end{bmatrix}- 0\begin{bmatrix} _{-1} & _{\frac{1}{3} }& _{0}\\ _{\frac{1}{3} } & _{-5}& _{8}\\ _{\frac{2}{3} } & _{\frac{4}{5} }& _{-\frac{3}{2} } \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} _{ \frac{4}{5} } & _{10}& _{ \frac{1}{4} }\\ _{0} & _{6}& _{4}\\ _{14} & _{ \frac{2}{5} }& _{0} \end{bmatrix}- 0 \ \ \ \ \ \Rightarrow = \begin{bmatrix} _{ \frac{4}{5} } & _{10}& _{ \frac{1}{4} }\\ _{0} & _{6}& _{4}\\ _{14} & _{ \frac{2}{5} }& _{0} \end{bmatrix}$

14 enero, 2021 jorgeacmonge Matrices

Matrices.

Matriz es un arreglo rectangular de números formada por renglones y columnas.

Se denota por $A_{ij}$ , donde el primer subíndice «i» de cada elemento indica el número de renglón y el segundo subíndice «j» indica el número de columna, donde se encuentra el elemento. Ejemplo: $a_{13}$ . (Primer renglón, tercera columna)

El Orden de una matriz se refiere al tamaño de «m» renglones y «n» columnas, y se denota por (m)(n).

El número de elementos de una matriz es el producto del orden de la misma. Ejemplo: en una matiz de orden (2)(3); el número de elementos es (2)(3) = 6 elementos.

Matrices iguales son las que tienen el mismo orden y el valor de sus elementos son respectivamente iguales.

Ejemplos:

a) Determina $a_{21} \ \ , \ \ a_{22} \ \ , \ \ a_{33} \ \ , \ \ a_{43}$ en

$A=\begin{bmatrix} _{-2} & _{1} & _{6}\\ _{-3} & _{4} & _{-5}\\ _{1} & _{6} & _{-7} \\ _{-4} & _{0} & _{1} \end{bmatrix}$

$a_{21} \ \ :$ renglón 2, columna 1 = -3

$a_{22} \ \ :$ renglón 2, columna 2 = 4

$a_{33} \ \ :$ renglón 3, columna 3 = -7

$a_{43} \ \ :$ renglón 4, columna 3 = 1

b) Usando la matriz anterior encontrar el orden y el número de elementos:

$a_{21} \ \ :$ Orden (2)(1), # de elementos 2

$a_{22} \ \ :$ Orden (2)(2), # de elementos 4

$a_{33} \ \ :$ Orden (3)(3), # de elementos 9

$a_{43} \ \ :$ Orden (4)(3), # de elementos 12

c) Determina si las matrices siguientes son iguales:

$\begin{bmatrix} _{ \sqrt{16} } & _{1} & _{5}\\ _{-1} & _{2} & _{-3}\\ _{1} & _{0} & _{3} \end{bmatrix} y \begin{bmatrix} _{4} & _{(1)^2} & _{5}\\ _{-1} & _{ \sqrt{4}} & _{-3}\\ _{1} & _{0} & _{ \sqrt[3]{27} } \end{bmatrix}$

Resolviendo los elementos con operaciones indicadas:

√16 = 4 ; (1)² = 1 ; √4 = 2 ; ³√27 = 3

$\Rightarrow \begin{bmatrix} _{4 } & _{1} & _{5}\\ _{-1} & _{2} & _{-3}\\ _{1} & _{0} & _{3} \end{bmatrix} y \begin{bmatrix} _{4} & _{1} & _{5}\\ _{-1} & _{2} & _{-3}\\ _{1} & _{0} & _{ 3 } \end{bmatrix}$ Son iguales.

Ejercicio 161.

Determina los valores de las incógnitas, para que las matrices sean iguales:

$1) \ \ \ \begin{bmatrix} _{a } & _{3} \\ _{4} & _{b} \end{bmatrix} \ \ \ = \ \ \ \begin{bmatrix} _{2} & _{3} \\ _{4} & _{-1} \end{bmatrix}$

-> a= 2 y b = -1 Solución.->

$2) \ \ \ \begin{bmatrix} _{1 } & _{0} \\ _{y+1} & _{-1} \end{bmatrix} \ \ \ = \ \ \ \begin{bmatrix} _{x+3} & _{z} \\ _{5} & _{-1} \end{bmatrix}$

-> x+3 = 1 -> x = 1-3 -> x = -2 ; y+1 = 5 -> y = 5-1 -> y = 4 ; z = 0

$3) \ \ \ \begin{bmatrix} _{t+4 } & _{6-r} & _{2q+1} \\ \end{bmatrix} \ \ \ = \ \ \ \begin{bmatrix} _{6-t} & _{5} & _{7-q} \\ \end{bmatrix}$

-> t+4 = 6-t -> t+t = 6-4 -> 2t = 2 -> t = 2/2 -> t = 1

-> 6-r = 5 -> -r = 5-6 -> -r =-1 -> r =1

-> 2q+1 = 7-q -> 2q+q = 7-1 -> 3q =6 -> q = 6/3 -> q = 2

______________________________________________

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto: