Para calcular las raíces de un polinomio se emplea la Factorización, por medio de gráficas y utilizando la Regla de signos de Descartes. En esta oportunidad emplearemos la regla de Descartes.
La Regla de Signos de Descartes nos permite determinar el tipo de raíz posible de un polinomio: positiva, negativa y compleja o imaginaria.
Dado un polinomio puede suceder que:
1) El número de raíces positivas es igual o menor el dos al número de cambios de signos del polinomio f(x).
2) El número de raíces negativas es igual o menor en dos al número de cambios de signos de la evaluación f(-x).
3) El número de raíces complejas depende del número de raíces positivas y/o negativas que tenga el polinomio. Si tienen raíces complejas también tienen como raíz su conjugado.
4) La cantidad de raíces de un polinomio está dado por el exponente de mayor valor.
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Ejemplos:
a) Dado el polinomio f(x)= x³ -2x² -11x +12 determina sus raíces.
Aplicando la Regla de Descartes, encontrar los cambios de signos que se presentan en el polinomio, cuando x es positivo f(x) y cuando es negativo f(-x).
f(x)= x³ -2x² -11x +12 ⇒
f(x)= +x³ -2x² -11x +12
. ← 1 → ← 2 → Aparecen dos cambios de signos.
f(-x)= (-x)³ -2(-x)² -11(-x) +12
f(-x)= –x³ –2x² +11x +12 ⇒
. ← 1 → Aparece 1 cambio de signo.
Las posibles combinaciones son:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Se enumeran los divisores del primer término y del último;
Último término 12 son: ±{1, 2, 3, 4, 6, 12}
Primer término x³ son: ±{1}
Estos divisores son los valores donde el residuo de la división sintética puede ser cero.
Desarrollando la división sintética:
1 -2 -11 12 |
. 1 -1 -12 | 1 .
1 -1 -12 0 |
. 4 12 | 4 .
1 3 0 |
. -3 |-3.
1 0
Solución: las raíces del polinomio son 
Los otros posibles divisores no dan un residuo cero.
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b) Dado el polinomio f(x)=x⁵ +3x⁴- 2x³ -10x² -12x, determina sus raíces.
Factorizando el polinomio por factor común, para que tenga un término dependiente:
f(x)= x p(x)=x (x⁴+3x³-2x²-10x-12)
Aplicando la regla de descartes a p(x)= x⁴+3x³-2x²-10x-12: ⇒
Para p(x)= +x⁴+3x³-2x²-10x-12
. ←1→ Aparece 1 cambio de signos.
Para p(-x)=(-x)⁴ +3(-x)³- 2(-x)² -10(-x) -12
p(x)=+x⁴ -3x³ -2x² +10x -12 ⇒
. ←1→ ←1→ ←1→ Aparecen 3 cambios de signos.
Las posibles combinaciones son:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20Raices(%2B)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%204%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Enumerando los divisores del último término y del primero:
Último término (12): ±{1, 2, 3, 4, 6, 12}
Primer término (1): ±{1}
Desarrollando la división sintética con p(x)=x⁴+3x³-2x²-10x-12:
1 3 -2 -10 -12 |
. 2 10 16 -6 | 2 .
1 5 8 6 0 |
. -3 -6 -6 | -3 .
1 2 2 0
⇒ es igual x²+2x+2
Tomando en cuenta que f(x)= x p(x)=x (x⁴+3x³-2x²-10x-12), la solución hasta aquí es:
f(x)=x(x-2)(x+3)(x²+2x+2)
Resolviendo x²+2x+2 por la fórmula cuadrática:
%20%5C%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B2%5E2-4(1)(2)%7D%7D%7B2(1)%7D%3D%20%20%5Cfrac%7B-2%20%5C%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B4-8%7D%7D%7B2%7D)
Como consecuencia las raíces del polinomio f(x)=x⁵ +3x⁴- 2x³ -10x² -12x son:
_________________________________________
Ejercicio 167.
Determina las raíces de los polinomios siguientes:
38) f(x)= x³ –5x² –x +5
Para f(x)= +x³ –5x² –x +5
. ←1→ ←1→ Aparecen 2 cambios de signos.
Para f(-x)=(-x)³ -5(-x)² -(-x) +5
f(-x)= –x³ –5x² +x +5
. ←1→ Aparece 1 cambio de signos.
Posibles combinaciones:
Divisores de
5= ±{1 , 5}
x³ = ±{1}
Desarrollando la división sintética de x³ -5x² -x +5:
1 -5 -1 5|
. 1 -4 5| 1 .
1 -4 -5 0|
. -1 5 | -1 .
1 -5 0 |
. 5 | 5 .
1 0 |
Solución: Las raíces del polinomio son:
___________________________________________
39) f(x)= x³ -12x² +47x -60
Para f(x)= + x³ – 12x² + 47x – 60
. ←1→ ← 2 → ← 3 → Aparecen 3 cambios de signos.
Para f(-x)= (-x)³ -12(-x)² +47(-x) -60
f(-x)= – x³ – 12x² – 47x – 60 No aparecen cambios de signos.
Posibles combinaciones:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Divisores de
x³: ±{1}
60 = ±{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Desarrollando la división sintética de f(x)= x³ -12x² +47x -60:
1 -12 47 -60|
. 5 -35 60| 5 .
1 -7 12 0|
. 4 -12 | 4 .
1 -3 0 |
. 3 | 3 .
1 0
Solución: las raíces del polinomio son:
__________________________________________
40) f(x)= 15x³ -53x² -30x +8
Para f(x)= +15x³ – 53x² –30x +8
. ← 1 → ← 2 → Aparecen 2 cambios de signos.
Para f(-x)= +15(-x)³ -53(-x)² -30(-x) +8
f(-x)= -15x³ -53x² +30x +8
. ← 1 → Aparece 1 cambio de signos.
Posibles combinaciones:
Cuando el coeficiente del primer término es > 1; se divide los divisores del término independiente entre los divisores del primer término; cuyos cocientes servirán para buscar aquellos en los cuales el residuo sea cero al aplicarlos en la división sintética.
Desarrollando la división sintética en f(x)= 15x³ -53x² -30x +8
Probamos primero para encontrar los valores positivos que nos den residuo cero.
15 -53 -30 8|
. 60 28 -8| 4 .
15 7 -2 0|
. 3 2 | 1/5 .
15 10 0 |
. -10 | -2/3 .
15 0
Solución: las raíces del polinomio son:
________________________________________
41) f(x)= 2x³ +13x² +30x +25
Para f(x)= +2x³ +13x² +30x +25 No aparecen cambios de signos.
Para f(-x)= 2(-x)³ +13(-x)² +30(-x) +25
f(-x)= –2x³ +13x² –30x +25
. ←1 → ←2 →←3 → Aparecen 3 cambios de signos.
Posibles combinaciones:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Desarrollando la división sintética de f(x)= 2x³ +13x² +30x +25
2 13 30 25|
. -5 -20 -25| -5/2 .
2 8 10 0| = 2x² +8x +10
Como no existe un divisor de los probables, que al hacer las operaciones de un residuo de cero; factorizamos el último cociente por la fórmula cuadrática.
%3D(x%2B5%2F2)(2x%5E2%2B8x%2B10))
⇒ Factorizando 2x² +8x +10
%20%5C%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B8%5E2-4(2)(10%7D%20%7D%7B2(2)%7D%3D%20%5Cfrac%7B-8%20%5C%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B64-80%7D%7D%7B4%7D)
Solución: las raíces del polinomio son:
________________________________________
42) f(x)= x⁴ -6x³ -13x² +42x
Factorizamos el polinomio para obtener un término independiente.
f(x)= x p(x)=x(x³ -6x² -13x +42)
La primera raíz de la solución es x=0
Resolviendo p(x)= x³ -6x² -13x +42
Para p(x)= +x³ –6x² –13x +42
. ←1→ ← 2→ Aparecen 2 cambios de signos.
Para p(-x)= +(-x)³ -6(-x)² -13(-x) +42
p(-x)= –x³ –6x² +13x +42
. ←1→ Aparece 1 cambio de signos.
Posibles combinaciones:
Desarrollando la división sintética de p(x)= x³ -6x² -13x +42
1 -6 -13 42|
. -3 27 -42| -3 .
1 -9 14 0|
. 2 -14 | 2 .
1 -7 0 |
. 7 | 7 .
1 0
Solución: las raíces del polinomio f(x)= x⁴ -6x³ -13x² +42x son:
_________________________________________
43) f(x)= x⁴ -x³ +10x² -16x -96
Para f(x)= +x⁴ – x³ +10x² – 16x -96
. ←1→ ←2→ ←3→ Aparecen 3 cambios de signos.
Para f(-x)= +(-x)⁴ – (-x)³ +10(-x)² – 16(-x) -96
f(-x)= x⁴ +x³ +10x² +16x -96
. ← 1 → Aparece 1 cambio de signo.
Posibles combinaciones:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Divisores de 96: ±{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}
Desarrollando la división sintética de f(x)=x⁴ -x³ +10x² -16x -96
1 -1 10 -16 -96|
. 3 6 48 96| 3 .
1 2 16 32 0|
. -2 0 -32 | -2 .
1 0 16 0 = x² +16
Factorizando x²+16:
x²+16 = 0 ⇒
x²=-16 ⇒ x= ±√-16 ⇒ x= ±√16 i ⇒ x= ±4i
Solución: Las raíces del polinomio son:
_______________________________________
44) f(x)= 6x⁴ +x³ -20x² -42x -20
Para f(x)= +6x⁴ +x³ -20x² -42x -20
. ← 1 → Aparece 1 cambio de signos.
Para f(-x)= +6(-x)⁴ +(-x)³ -20(-x)² -42(-x) -20
f(-x)= +6x⁴ -x³ -20x² +42x -20
. ←1→ ← 2→ ←3→ Aparecen 3 cambios de signos.
Posibles combinaciones:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%202%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Desarrollando la división sintética de f(x)= 6x⁴ +x³ -20x² -42x -20
6 1 -20 -42 -20|
. -4 2 12 20| –2/3 .
6 -3 -18 -30 0|
. 15 30 30 | 5/2 .
6 12 12 0 = 6x²+12x+12
Factorizando 6x²+12x+12
%20%5Cpm%20%20%5Csqrt%7B12%5E2-4(6)(12%7D%20%7D%7B2(6)%7D%3D%20%5Cfrac%7B-12%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B144-288%7D%7D%7B12%7D)
Solución: Las raíces del polinomio son:
_________________________________________
45) f(x)= 2x⁵ +13x⁴ +19x³ +x² +17x -12
Para f(x)= +2x⁵ +13x⁴ +19x³ +x² +17x -12
. ← 1 → Aparece 1 cambio de signos.
Para f(-x)= +2(-x)⁵ +13(-x)⁴ +19(-x)³ +(-x)² +17(-x) -12
f(-x)= -2x⁵ +13x⁴ -19x³ +x² -17x -12
. ←1→ ← 2 → ← 3→ ←4→ Aparecen 4 cambios de signos.
Posibles combinaciones:
%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%20%5C%5C%20.%5C%5CRaices(-)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%204%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%20.%20%5C%5CRaices(i)%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%20%26%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
Desarrollando la división sintética de 2x⁵ +13x⁴ +19x³ +x² +17x -12
2 13 19 1 17 -12|
. 1 7 13 7 12| 1/2 .
2 14 26 14 24 0|
. -8 -24 -8 -24 | -4 .
2 6 2 6 0 |
. -6 0 -6 | -3 .
2 0 2 0 = 2x² +2
Factorizando 2x² +2=0
x² = -2/2
x² = -1
x = ±√-1
x = ± i
Solución: las raíces del polinomio son:
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EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON 