Binomio de Newton. (con exponentes fraccionarios y/o negativos)


El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes fraccionarios y/o negativos,   y   cumple con lo siguiente:

La Fórmula es la misma que se aplica de la misma manera que para los enteros positivos:

Fórmula:  

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El desarrollo de los binomios fraccionarios y negativos, cumple con lo siguiente:

a)  El primer término es   o  , y no tienen último término.

b) El número de términos es infinito.

c) El desarrollo de estos binomios recibe el nombre de Serie.

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Ejemplos:

a) Desarrolla    hasta 5 términos:

» Cambiando los exponentes negativos a positivos:

   Solución.

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b) Desarrollar    , hasta 5 términos:

» 

»    Solución.

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Ejercicio 95 del Libro.

Desarrollar los siguientes binomios, hasta 5 términos:

13)  

 …  Solución.

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14)  

…    Solución.

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Binomio de Newton. (Con exponentes enteros y positivos)


Es la manera de resolver un binomio elevado a un exponente por medio del Teorema del Binomio de Newton.

Fórmula:  

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r! : se lee “r factorial”, y es igual a “r” multiplicado por cada uno de los valores anteriores, hasta el valor 1.  Y donde “r” es un valor cualquiera que esté afectado por el factorial (!).

O sea;  r!= r.(r-1)(r-2)(r-3)…1

Ejemplo: 5! = 5 (5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 5(4)(3)(2)(1)= 120.

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El desarrollo del Teorema del binomio de Newton , con exponentes enteros y positivos,cumple con lo siguiente:

a) El primer término es , y el último término es

b) El número de término del desarrollo del teorema será (n+1)

c) A partir del 2º término del desarrollo, la potencia de “a” disminuye en 1, (n-1) y la potencia de “b” aumenta en 1, (b^1)

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Ejemplos:

a) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = x    ;     = 2y    ;    n = 4

» Aplicando la fórmula :

    Solución.

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b) Desarrollar  

» identificando los elementos del binomio:

 = 2x²    ;     = -3y²    ;    n = 5

» Aplicando la fórmula :

» 

» 

» 

»    Solución.

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Ejercicio 95 del Libro.

Desarrolla los siguientes binomios:

1)

» 

» 

   Solución

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2)  

»  

» 

» 

»    Solución.

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Simplificación de Potencias.


El orden de la simplificación estará determinado por las operaciones indicadas, así como por los signos de agrupación que la expresión contenga.

Estos ejercicios se resuelven aplicando los Teoremas de los Exponentes, vistos en el Ejercicio 93.

Procedimiento:

1) Determinar que operaciones están indicadas y que signos de agrupación contiene la expresión, para realizar las operaciones según el orden de operación correspondiente.

2) Aplicar el Teorema de los Exponentes que corresponda.

3) Simplificar los resultados hasta llegar a la solución.

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Ejemplos:

a)  Simplifica la expresión (x²y-²)-³  y da el resultado con exponentes positivos:

» Aplicando el Teorema    ;

» Aplicando el teorema   para cambiar el signo negativo de :

» Multiplicando para simplificar:

   Solución.

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b) Simplifica la siguiente expresión y elimina los exponentes negativos:

» Multiplicando las potencias de igual base del numerador, aplicando el teorema  :

» Dividiendo potencia de igual base, aplicando el teorema  

» Eliminado el exponente negativo, aplicando el teorema  

   Solución.

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c)  Simplifica la siguiente expresión  

» Dividiendo los términos semejantes, aplicando el teorema  :

»  Elevando las potencias a otra potencia, aplicando el teorema 

»  Eliminando los exponentes negativos, aplicando el teorema 

     Solución.

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Ejercicio 94 del Libro.

Aplique los teoremas de los exponentes y simplifique las siguientes expresiones:

1)  

   Solución.

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2)   

(-6/4=-3/2)

   Solución.

_______________________________________________

3)  

    Solución.

_______________________________________________

4)  

=

   Solución.

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5)  

   Solución.

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Teorema de los Exponentes.


1) Multiplicación de potencias de igual base: a^n ∙ a^m= a^(n+m)
Ejemplos: 2^2 ∙ 2^3= 2^(2+3)= 2^5=32
(-5m)(8m^3 )(-2m^2 )= (-5)(8)(-2) m^(1+3+2)= 80m^6  Solución.

 

2) División de Potencias de igual base: a^m/a^n = a^(m-n)
Ejemplo: 2^6/2^2 = 2^(6-2)= 2^4=16
-27m^7/-3m^3 = (-27⁄-3)m^(7-3)= 9m^4  Solución.

 

3) Potencia Cero: a^0=1
Ejemplo: 3^0=1   Solución.

(Cualquier base o cantidad elevada al exponente cero, siempre será igual a 1)

 

4) Potencia con exponente negativo: a^(-n)= 1/a^n
Ejemplo: (-3x)^(-2)= 1/(-3x)^2 = 9x^2  Solución.

 

5) Potencia de una potencia: (a^n )^m= 1^m a^(n ∙ m)
Ejemplo: (m^4 )^3= m^(4 ∙ 3)= m^12
(2x^3 )^2= (2^2)m^(3 ∙ 2)= 4m^6  Solución

 

6) Potencia del producto de varias potencias:

(x^m ∙ y^p ∙ z^ñ )^n= (x^mn )(y^pn )(z^ñn )
Ejemplo: (x^3 ∙ y^4 ∙ z^2 )^4= (x^(3 ∙4) )(y^(4 ∙4) )(z^(2 ∙4) )=

= (x^12 )(y^16 )(z^8 )=x^12 y^16 z^8  Solución

 

7) Potencia de una fracción : (x^m/y^p )^n= x^(m ∙n)/y^(p ∙n)
Ejemplo: (x^4/y^2 )^3= x^(4 ∙ 3)/y^(2 ∙ 3) = x^12/y^6  Solución

 

8) Potencia de una fracción elevada aun exponente negativo: (a/b)^(-n)= b^n/a^n
Ejemplo: (2x/3y)^(-2)= (1/(2x)^2 ) ⁄ (1/(3y)^2 )= (3y)^2/(2x)^2 = 9y^2/4x^2  Solución.

 

Ejercicio 93.

Aplica la definición y desarrolla las siguientes potencia:

1) (3x^2)^3 =  (3)^3 (x^2)^3  =  27 x^6  Solución.

3) (2/5 a^4)^4  =  (2/5)^4 (a^4)^4  =  16/625 a^16  Solución.

7) (6a/3b)^5  =  6^5 a^1 . 5 /3^5 b^1 . 5 = 7776 a^5 /243 b^5 =

= 32 a^5/b^5   Solución.

Simplifica las siguientes expresiones y muestra el resultado sin exponentes negativos:

9) (3y)(-5y^2)  =  3 . -5 (y)(y^2)  =  -15 y^1+2 = -15y^3   Solución

11) x^(4/5) . x^(-2/5) . x^(3/5) = x^(4/5 + -2/5 +3/5) = x^(5/5) = x^1 = x  Solución

13)  a^5 /a^-3  =  a^5 ÷ (1/a^3) =  a^5 . a^3 / 1 .1 = a^8 /1 = a^8  Solución. 

15) 3a^5b^-7 /a^3b^-6 = (3/1)(a^5/a^3)(b^-7/b^-6) = 3(a^5-3) ÷ b^[-7 -(-6)] =

= 3 a^2 /b^(-7+6) =  3a^2 / b^-1 = 3a^2 ÷ 1/b^1 = 3a^2 ÷ 1/b = 3a^2b /1 .1 =

= 3a^2/b  Solución.

21)  -9x^0 = -9(1) = -9    Solución.

22) 2(x-5y)^0  = 2(1) = 2  Solución.

23)  5x^-3  = 5(1/x^3) = 5/x^3   Solución

24  -(6x)^-2  = -(1/(6x)^2 = -1/36x^2  Solución.

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