. i-ésimo término de (a+b)ⁿ
Cálculo del i-ésimo término del binomio (a±b)ⁿ
Para calcular el i-ésimo término de un binomio (a±b)ⁿ, se usa la fórmula siguiente:
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Procedimiento:
1) Determinar los valores de los elementos necesarios para aplicar la fórmula.
2) Sustituir los valores en la fórmula.
3) Efectuar las operaciones indicadas.
4) Simplificar hasta la mínima expresión y esa será la solución.
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i : siempre será igual al número de término que se busca.
n : será el igual al valor del exponente del binomio.
El número de factores del numerador de la fracción en la fórmula será i -1
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Ejemplo.
Calcula el cuarto término de (2x+3)⁵
Elementos: i = 4 , n = 5 , a = 2x , b = 3
4ºt = 5(5-1)(5-2) /(4-1)! (2x)⁵¯⁴⁺¹(3)⁴¯¹
. = 5(4)(3) /3! (2x)²(3)³
. = 60/6 (4x²)(27)
. = 10(4x²)(27)
. = 1080x² Solución.
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Ejercicio 96.
Determina el valor del término que se indica en los ejercicios:
1) Tercer término de (3x+5)⁷
Elementos: i = 3 , n = 7 , a = 3x , b = 5
3ºt = 7(7-1) /(3-1)! (3x)7¯³⁺¹(5)³¯¹
. = 7(6) /(2)! (3x)⁵(5)²
. = 42/2 (243x⁵)(25)
. = 21(243)x⁵(25)
. = 127,525x⁵ Solución.
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2) Quinto término de (½x-1)⁸
Elementos: i = 5 , n = 8 , a = ½x , b = -1
5ºt = 8(8-1)(8-2)(8-3) /(5-1)! (½x)⁸¯⁵⁺¹(-1)⁵¯¹
. = 8(7)(6)(5)/(4)! (½x)⁴(-1)⁴
. = 1680/24 (1/16)x⁴(1)
. = 70(1/16) x⁴
. = 35/8 x⁴ Solución.
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3) Cuarto término de (4xy-7)⁶
Elementos: i = 4 , n = 6 , a = 4xy , b = -7
4ºt = 6(6-1)(6-2)/(4-1)! (4xy)⁶¯⁴⁺¹(-7)⁴¯¹
. = 6(5)(4)/(3)! (4xy)³(-7)³
. = 120/6 (64)x³y³(-343)
. = 20(64) x³y³(-343)
. = -439040 x³y³ Solución.
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4) Sexto término de (8x+1)¹/³
Elementos: i = 6 , n = ⅓ , a = 8x , b = 1
6ºt = ⅓ (⅓ -1)(⅓ -2)(⅓ -3)(⅓ -4)/(6-1)! (8x)¹/³¯⁶⁺¹(1)⁶¯¹
. = ⅓ (-2/3)(-5/3)(-8/3)(-11/3)/5! (8x)-14/3(1)⁵
. = 880/243 / 120 (1/ 8x14/3)(1)
. = 22/729 (1/ 8x14/3)
. = 22 /729(8x)14/3 Solución.
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5) Octavo término de (3x-5)¹⁰
Elementos: i = 8 , n = 10 , a = 3x , b = -5
8ºt = 10(10-1)(10-2)(10-3)(10-4)(10-5)(10-6)/(8-1)! (3x)¹⁰¯8⁺¹(-5)⁸¯¹
. = 10(9)(8)(7)(6)(5)(4)/7! (3x)³(-5)⁷
. = 604800/5040 (27x³) (-78125)
. = 120 (27)x³(-78125)
. = 253.125,000x³ Solución.
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6) Sexto término de (x-2)¯⁴
Elementos: i = 6 , n = -4 , a = x , b = -2
6ºt = -4(-4-1)(-4-2)(-4-3)(-4-4)/(6-1)! (x)¯⁴¯⁶⁺¹(-2)⁶¯¹
. = –4(-5)(-6)(-7)(-8)/5! (x)¯⁹(-2)⁵
. = -6720/120 (x¯⁹)(-32)
. = -56(-32)x¯⁹
. = 1792¯⁹
. = 1792 /x⁹ Solución.
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7) Quinto término de (x-1)¯¹
Elementos: i = 5 , n = -1 , a = x , b = -1
5ºt = -1(-1-1)(-1-2)(-1-3)/(5-1)! (x)¯¹¯⁵⁺¹(-1)⁵¯¹
. = -1(-2)(-3)(-4)/4! (x)¯⁵(-1)⁴
. = 24/24 (x¯⁵)(1)
. = 1(1)(1/x⁵)
. = 1 / x⁵ Solución.
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8) Cuarto término de (4x+9)½
Elementos: i = 4 , n = ½ , a = 4x , b = 9
4ºt = ½ (½ -1)(½ -2)/(4-1)! (4x)½¯⁴⁺¹(9)⁴¯¹
. = ½ (-½)(-3/2) /3! (4x)-5/2(9)³
. = ⅜ /6 (4x)-5/2(729)
. = 1/16(729)(4x)-5/2
. = 729/16 (1/(4x)5/2
. = 729 /16(32)(x5/2)
. = 729 / 512 x5/2 Solución.
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