Problemas sobre ecuaciones de primer grado. Geometría plana.

Fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas.

Figura	Perímetro	Área
Rectángulo	P = 2(b+h)	A = bh
Cuadrado	P = 4l	A = l²
Triángulo	P = l₁ +l₂ +l₃	A = bh/2
Círculo	P = 2π	A = π r²

b = base   ;   a = altura   ;   l = lado   ;   π Pi   ;   r = radio.

Dos ángulos complementarios son aquellos cuyos valores suman 90°.

Dos ángulos suplementarios son aquellos cuyos valores suman 180°.

Triángulo por sus lados:

Equilátero: tiene tres lados iguales.

Isósceles: tiene dos lados iguales

Escaleno: Sus lados son desiguales.

Triángulo por sus ángulos:

Rectángulo: tiene un ángulo de 90°

Acutángulo: sus ángulos miden menos de 90°

Obtusángulo: Tiene un ángulo de más de 90°.

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Ejemplos:

1) ¿Cuánto mide un ángulo si su complemento es el doble más 15°?

Datos:  ángulo: x      ,    complemento:  2x+15°
Planteamiento:  ángulo + complemento = 90° -> x +2x+15° = 90°
Resolviendo:
3x = (90-15°)
x = 75°/3
x = 25°
Respuesta: el ángulo mide 25°

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2) El perímetro de un triángulo isósceles es de 48 cm.  Si el lado diferente equivale a 2/3  de la medida de los lados iguales, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo?

Datos: Lados iguales = x  ;  lado diferente = 2/3 x  ;  P = 48
Planteamiento: x + x+ 2/3x = 48
Resolviendo:
3x +3x +2x = 3(48)
8x = 144
x = 144/8
x = 18
2/3 x = 2/3(18) = 36/3 = 12

Respuesta: Los lados del triángulo son: 12cm.,  18cm.,  12cm.
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3) El largo de un rectángulo mide cuatro metros menos que el cuádruple de su ancho y su perímetro mide 32 metros. ¿Cuánto mide el largo?

Datos:
ancho o altura:  x (2)lados   ;  largo o base:  (4x -4)(2)lados   ;  Perímetro: 32 metros.
Planteamiento: P= 2(b+h)  -> 2[x+(4x-4)]=32
Resolviendo:
2(5x-)4=32
10x-8 = 32
x = 32+8 /10
x = 40/10
x = 4 ⇒
 4x-4 = 4(4)-4 = 16-4 = 12 metros. 

Respuesta: el largo del rectángulo mide 12 m.
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4) Si se aumentan 8 metros a los lados de un cuadrado el área aumenta en 144m².  ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original?

Datos:  lado original: x  ;    área de primer cuadrado x²   ;   lado con cambios: x+8   área del segundo cuadrado:  (x+8)².   ;  área con aumento: 144m².   ;
Planteamiento:  (x+8)² – x² = 144
Resolviendo:
x² +16x +64 -x² = 144
16x = 144 -64
x = 80/16
x = 5 

Respuesta: el lado del cuadrado original mide 5 metros.
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Ejercicio 72.

 Resuelve los siguientes problemas:

1) Si uno de dos ángulos complementarios mide 34° más que el otro, ¿cuánto mide el ángulo mayor?

Datos:  ángulo menor:  x    ;    ángulo mayor x 3414    ;    Suma de los ángulos: 90°

Planteamiento:  x + x +34 = 90

2x +34 = 90

x = 90-34 / 2

x = 56/2

x = 28

x +34 = 28 +34 = 62

Respuesta: El ángulo mayor mide 62°. 

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2) Dos ángulos son suplementarios si suman 180°, ¿cuál es la medida del ángulo cuyo suplemento es el triple del ángulo?

Datos: ángulo menor: x   ;     ángulo suplementario: 3x    ;    Suma ángulos: 180°

Planteamiento:  x +3x = 180

Resolviendo:

4x = 180

x = 180/4

x = 45

3x = 3(45) = 135

Respuesta:  la medida del ángulo menor = 45°.

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3) El largo de un rectángulo mide el triple de su ancho; si el perímetro mide 96 cm, ¿cuál son sus dimensiones?

Datos:  largo: 3x    ;    ancho; x    ;  P = 96 cm,

Planteamiento:  2(x + 3x) = 96

2x +6x = 96

8x = 960

x = 96/8

x = 12  ⇒

3x = 3(12) = 36

P = 2x + 2(3x) = 2(12) + 2(36) =24 + 72 = 96

Respuesta: sus dimensiones son: ancho 12cm,  largo 36cm

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4) El largo de un rectángulo mide diez metros más que el doble de su ancho y su perímetro mide 164 metros.  ¿Cuáles son sus dimensiones?

ancho: x   ;  largo:  2x+10   ;  P = 164 m.

Planteamiento:   2(x + 2x +10) = 164

2x+4x +20 = 164

6x = 164-20

x = 144/6

x = 24

2x+10 = 2(24)+10 = 58

P = 2(24) + 2(58) = 48 + 116 = 164

Respuesta: sus dimensiones son:  ancho 24 cm.   ,  largo 58 cm.

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5) El ancho de un rectángulo mide cinco metros menos que la cuarta parte de su largo y su perímetro mide 80 metros.  ¿Cuáles son sus dimensiones?

Datos: ancho x-5   ;  1/4 x = x/4     ;    P = 80m.

2(x-5) +2(x/4) = 80

2x-10 +x/2 = 80

4x -20 +x = 160

5x = 160+20

x = 180/5 -> x = 36 ->

x/4 = 36/4 = 9

Respuesta: Sus dimensiones son 4m de ancho y 36m de largo.  (PENDIENTE)

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6) El perímetro de un triángulo escaleno mide 23 metros.  Si uno de los lados mide dos metros menos que el doble del segundo lado y tres metros más que el tercer lado, ¿cuánto mide cada lado?

Datos:  P = 23m.   ,  x  ,  2x +2  ,  x-3  ->
x +2x +2 + x -3 = 23
4x -1 = 23
x = 23+1 / 4
x = 6 –>
2x+2 = 2(6)+2 -> x = 14
x -3 = 6-3 -> x = 3

Respuesta: 3m,  6m  y  14m.     (PENDIENTE)

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7)  La base de un triángulo mide 36cm y su área 144cm²,  ¿Cuánto mide la altura?

Datos:  b = 36cm  ,  A = 144cm²  ,   a =?  ->

Si A = ab/2  ->  2A = ab  -> a = 2A/b  ->

a = 2(144)/36 -> a = 288/36 ->  a = 8cm ->

A = (36)(8)/2 -> A =  288/2  -> A = 144 cm²

Respuesta:  La altura mide 8 cm.

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8) un trozo de madera de 14 cm se divide en dos partes, de tal manera que la longitud de una de ellas es las dos quintas partes de longitud de la otra, ¿cuál es la longitud de cada parte?

Datos:  x  ,  2x/ 5 ,  Total 14cm

x +2x/5 = 14

5x +2x = 70

7x = 70

x = 70/7

x = 10

-> 2x/5 = 2(10)/5 = 20/5 = 4 

Respuesta:  La longitud de cada parte es 10cm.  y  4cm.

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