Ecuaciones de Primer Grado – EJERCICIOS DEL ÁLGEBRA DE PEARSON

11 May, 202311 May, 2023 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Despeje de fórmulas.

Una fórmula es una ecuación que tienen más de una variable que representan ciertas magnitudes, y dependen de cuál de esas magnitudes se quiera encontrar, para efectuar el despeje.

El despeje de una variable consiste en aplicar la operación inversa a cada miembro de la fórmula; ya sea si el miembro suma, se resta el mismo valor en ambos miembros; si multiplica, se divide, si es potencia se obtiene una raíz.

Ejemplos:

a) En la fórmula A = bh, despeja b.

A/h = bh/h (Se dividen ambos miembros de la ecuación entre «h», para dejar sola a la «b»).

a/h = b

b = a/h Solución.

_________________________

b) Despeja c de la fórmula a² = b²+c²

a²-b² = b²+c²-b² ( restando -b² en ambos lados de la ecuación)

a²-b² = c²

$\pm \sqrt{a^2-b^2} =c$ (incluyendo a²-b² en raíz cuadrada , y extrayendo raíz cuadrada a c²)

$c=\pm \sqrt{a^2-b^2}$ Solución.

__________________________

c) Despeja v de la fórmula $E=mgh+ \frac{mv^2}{2}$

$E-mgh=\frac{mv^2}{2}$ (Restando mgh)

$2(E-mgh)=mv^2$ (multiplicando por 2)

$\frac{2(E-mgh)}{m} =v^2$ (Dividiendo entre m)

$\sqrt{ \frac{2(E-mgh)}{m}} =v$ Obteniendo raíz cuadrada.

$v= \sqrt{ \frac{2(E-mgh)}{m}}$ Solución.

________________________________________

Ejercicio 73.

Realiza lo que se te indica en cada caso:

1) Despeja n de la fórmula $PV=nrt$

$\frac{PV}{rt}=n$

$n=\frac{PV}{rt}$ Solución.

_________________________________________

2) En $P=2l+2a$ , despeja l

$P-2a =2l$

$\frac{P-2a}{2}=l$

$l= \frac{P-2a}{2}$ Solución.

_________________________________________

3) En $y=mx+b$ , despeja m.

$y-b=mx$

$\frac{y-b}{x}=m$

$m= \frac{y-b}{x}$ Solución.

_________________________________________

4) En $S= \frac{a-lr}{1-r}$ , despejar r.

$S(1-r)= a-lr \ \ \ \ \rightarrow\ \ \ \ s-rs=a-lr \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ -rs=a-lr-s$

$-rs+lr=a-s\ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ r(-s+l)=a-s \ \ \ \ r= \frac{a-s}{-s+l} \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ r= \frac{a-s}{l-s}$ Solución.

_________________________________________

5) Despeja F de $C= \frac{5}{9}(F-32)$

$\ \ 9C= 5(F-32) \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ 9C=5F-160 \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ 9C+160=5F$

$\rightarrow \frac{9C+160}{5}=F \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \frac{9}{5}C+32=F \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ F=\frac{9}{5}C+32$ Solución.

_________________________________________

6) Despeja r de A = r² , y , Despeja r de A = π r²

$A=r^2 \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \pm \sqrt{A}=r \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ r= \pm \sqrt{A}$ Solución.

$A= \pi r^2 \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \frac{A}{\pi}=r^2 \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ \pm \sqrt{ \frac{A}{\pi} }=r \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \ r= \pm \sqrt{ \frac{A}{\pi}}}$ Solución.

__________________________________________

7) Despeja b de $A= \frac{1}{2}h \ (B+b)$

$\rightarrow \frac{2A}{h} = B+b \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \frac{2A}{h}-B =b$

$\rightarrow b =\frac{2A}{h}-B$ Solución.

_______________________________________

8) En $m= \frac{ y_{2} - y_{1} }{ x_{2} - x_{2} }$ despejar $x_{2}$

$m( x_{2} - x_{1} )= y_{2} - y_{1}$

$mx_{2} - mx_{1}= y_{2} - y_{1}$

$mx_{2} = y_{2} - y_{1}+mx_{1}$

$x_{2} = \frac{y_{2} - y_{1}+mx_{1}}{m}$ Solución.

_________________________________________

9) Despeja h de la fórmula $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

$\rightarrow \ \ \ \ \ \ (x-h)^2=r^2-(y-k)^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow x-h= \pm \sqrt{r^2-(y-k)^2}$

$\rightarrow -h= -x \pm \sqrt{r^2-(y-k)^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow h= x \pm \sqrt{r^2-(y-k)^2}$ Solución.

_________________________________________

10) Despeja F de la fórmula $r= \frac{1}{2A} \sqrt{B^2+C^2-4AF}$

$\rightarrow 2Ar=\sqrt{B^2+C^2-4AF} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow (2Ar)^2=B^2+C^2-4AF}$

$\rightarrow 4A^2r^2=B^2+C^2-4AF \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow 4AF=B^2+C^2-4A^2r^2$

$\rightarrow F= \frac{B^2+C^2-4A^2r^2}{4a}$ Solución.

__________________________________________

21 diciembre, 2021 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Problemas de ecuaciones de 1er. grado. Ejercicio 70.

Resuelve los siguientes problemas:

1) Un estanque se llena con una de dos llaves en 3 horas y con la segunda en 2 horas, ¿ cuánto tiempo tardarán en llenar el estanque vacío las dos llaves?

1º = 1/3 y 2º = 1/2 , Con 1º y 2º = 1/x

-> 1/3+1/2 = 1/x; y el m.c.m de los denominadores es 6x

6x(1/3+1/2=1/x) -> 2x+3x = 6

5x = 6 -> x = 6/5 h.

y 6/5 = 1.20 h = 1h. (0.20)(60) = 1hora y 12minutos.

_________________________________________

2) Cierto trabajo lo puede realizar Damián en 4 horas y Beatriz en 6 horas. ¿En cuánto tiempo lo realizan ambos?

Damián 1/4 , Beatriz 1/6, y ambos 1/x

-> 1/4+1/6 = 1/x, y el m.c.m. de los denominadores es 12x

12x(1/4+1/6 = 1/x) -> 3x+2x = 12

5x = 12 -> x = 2.4

y 2.4 h = 2. (0.40)(60) = 2 horas 24 minutos.

___________________________________________

3) Una tortillería produce por día 350 kilogramos con la máquina A, con la máquina B la misma producción se obtiene en dos días, si se ponen a trabajar ambas máquinas, ¿ cuánto tiempo tardarán en producir los 350 kilos de tortilla?

Máquina A: 1/1 ; máquina B: 1/2 ; ambas máquina: 1/x

-> 1+1/2 = 1/x, y si el m.c.m. es 2x ->

2x(1+1/2 = 1/x) -> 2x+x = 2

-> 3x = 2 -> x = 2/3 día

y 2/3 día = 2(24) /3 = 16 horas

__________________________________________

4) Para envasar leche se utilizan dos máquinas, la primera envasa 2400 botes en 4 horas y la segunda envasa la misma cantidad en 8 horas, ¿ cuánto tiempo tardarán en llenar 2400 botes de leche ambas máquinas?

1ª = 1/4 , 2ª = 1/8 y 1ª y 2ª = 1/x

-> 1/4+1/8 = 1/x, y el m.c.m. de los denominadores es 8x

8x(1/4+1/8) = 1/4) -> 2x+1x = 8

3x = 8 -> x = 8/3 = 2.66 horas

-> 2.66 = 2. (0.66)(60) = 2 horas 40 minutos

___________________________________________

5) Para sacar 20,000. copias se tienen tres copiadoras, la primera tarde 6 horas, la segunda 8 horas y la tercera 4 horas; si se utilizan las tres copiadoras, ¿ cuánto tiempo tardarán en realizar esta tarea?

1ª = 1/6, 2ª = 1/8 Y 3ª = 1/4 , Las tres juntas = 1/x

-> 1/6+1/8+1/4 = 1/x , el m.c.m. es 24x

-> 24x(1/6+1/8+1/4=1/x) -> 4x+3x+6x = 24

13x = 24 -> x = 24/13 = 1.85 h = 1. 11/13 horas.

____________________________________________

6) Un productor de leche puede vaciar un contenedor con una llave de desagüe en 12 horas; este recipiente puede ser llenado con una llave en 4 horas y con una segunda llave en 6 horas. Si el contenedor inicialmente está vacío y se abren las tres llaves simultáneamente, ¿ en cuánto tiempo se puede llenar?

Llave de desagüe : -1/12 ; 1º llave de llenado 1/4 ; 2ª llave de llenado 1/6 ; llenado con las 3 llaves: 1/x.

-> 1/4 +1/6 -1/12 = i/x; el m.c.m. es 12x

-> 12x(1/4 +1/6 -1/12 = 1/x) = 3x+2x-x = 12

-> 4x = 12 -> x = 12/4 = 3.

El contenedor se llenará en 3 horas.

_________________________________________

10 diciembre, 2021 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Problemas de ecuaciones de 1er. grado. Ejercicio 69.

Ejercicio 69.

Resuelve los siguientes problemas:

1) Julio pagó por un traje, una camisa y unos zapatos. $2700. Si la camisa cuesta la sexta parte del traje y los zapatos cuestan el doble de la camisa, ¿ cuál es el precio de los zapatos?

Traje: x ; camisa: x/6 ; zapatos: 2(x/6) ; Todo el costo %2700.

-> x +x/6 +2(x/6) = 2700

x +x/6 +x/3 = 2700

Si el m.c.d. es 6 ->

6x +x + 2x = 16900

x = 16900/9

x = 1800

Traje: x = $1800

Camisa: x/6 = 1800/6 = $300

Zapatos: x/3 = 1800/3 = $600

Comprobación: 1800+300+600 = 2700.

Solución: Precio de los zapatos es $600.

________________________________________

2) Alejandra compró una chamarra, una blusa y un pantalón. El pantalón costó la mitad de la chamarra y la blusa las tres décimas partes del costo del pantalón. Si en total pagó $1,320. ¿ cuál es el costo de cada prenda?

Chamarra: x ; Pantalón: x/2 ; Blusa: 3/10(x/2) = 3x/20 ; Todas las prendas $1320

-> x +x/2 +3x/20 = 1320

Si el m.c.d es 20 ->

20x +10x +3x = 26400

x = 26400/33

x = 800

Chamarra = x = $800

Pantalón = x/2 = 800/2 = $400

Blusa = 3x/20 = 3(800) /20 = 2400/20 = $120

Comprobación: $800+$400+$120 = $1320

Solución: Chamarra $800. , pantalón $400. y blusa $120.

__________________________________________

3) Adriana pagó por reinscripción, colegiatura y examen extraordinario, $6,400. Si el examen cuesta las 2 quintas partes de la inscripción y las dos novenas partes de la colegiatura, ¿ cuánto paga de colegiatura?

$Examen : \ x \ \ \ ; \ \ Inscripcion: \ \ x/{\frac{2}{5} } \ \ ; \ \ Colegiatura: \ \ x/ \frac{2}{9} \\ Pago \ \ total: \ \ $6,400.$

Si el m.c.d es 4/45 ->

$x \ + \ x/{\frac{2}{5} } \ + \ x/ \frac{2}{9}=6400. \\ . \\ \frac{2}{9}x+ \frac{4}{45}x+ \frac{2}{5}x= \frac{5120}{9} \\ . \\ \frac{32}{45}=\frac{5120}{9}$

$\rightarrow x=\frac{5120}{9} / \frac{32}{45}= 800$

Examen = x = $800.

Inscripción = x/ 2/5 = 800/ 2/5 = $2000.

Colegiatura = x/ 2/9 = 800/ 2/9 = $3600.

Comprobación: $800+$2,000+$3600 = $6,400.

Solución: Por colegiatura paga $3,600.

________________________________________

4) Una empresa compró automóviles para sus tres gerentes. El primer automóvil costó el doble del segundo más $25,000. y el tercero $18,000. menos que el primero. Si la empresa invirtió $432,000. ¿cuál es el precio de cada automóvil?

A(1º) = 2x+25000 ; A(2º) = x ; A(3º) = 2x+25000-18000 ; Pago Total $432,000.

-> x + 2x+25000 + 2x+25000-18000 = 432000

5x = 432000-25000-25000+18000

x= 400000/5 = 80000

A(1º) = 2x+25000 = 2(80000)+25000 = 185000

A(2º) = x = 80000

A(3º) = 2x+25000-18000 = 2(80000)+7000 = 167000

Comprobación: 185000+80000+167000 = 432000

Solución: $185,000. , $80,000. , $167,000.

_________________________________________

5) Jazmín ganó el martes el doble de lo que ganó el lunes; el miércoles, el doble de lo que ganó el martes; el jueves, el doble de lo que ganó el miércoles; el viernes, $30 menos que el jueves; y el sábado $10 más que el viernes. Si en los seis días Jazmín ganó %1,500., ¿ cuánto ganó el miércoles?

Lunes: x ; martes: 2x ; miércoles; 2(2x) ; jueves: 2(4x) ; viernes 8x-30 ; sábado; 8x-30+10 ; Total $1.500.

-> x +2x +2(2x) +2(4x) +8x-30 +8x-30+10 = 1500

x +2x +4x +8x +8x-30 +8x-20 = 1500

31x = 1500+50

x = 1550/31 = 50

Lunes = x = 50

Martes = 2x = 2(50) = 100

Miércoles = 4x = 4(50) = 200

Jueves = 8x = 8(50) = 400

Viernes = 8x-30 = 400-30 = 370

Sábado = 8x-20 = 400-20 = 380

Comprobación: 50+100+200+400+370+380 = $1,500.

Solución: Jazmín ganó el miércoles $200.

________________________________________

6) Una computadora y un escritorio costaron $15,100., si por el escritorio se pagó la sexta parte de la computadora más $400., determina el precio de cada uno.

Computadora = x ; escritorio = x/6 +400 ; Total 15100

-> x + x/6 +400 = 15100

x +x/6 = 15100-400

6x +x = 6(14700)

7x = 88200

x = 88200/7 = 12600

Computadora = x = $12,600.

Escritorio x/6 +400 = 12600/6 +400 = $2,500.

Comprobación: 12600+2500 = 15100.

Solución: Computadora $12,600. y escritorio $2,500.

_________________________________________

7) En el curso de Álgebra un profesor pidió resolver 16 problemas al alumno más destacado de la clase, con la condición de que por cada problema resuelto correctamente el estudiante recibiría $30., y por cada problema erróneo, perdería $10. Después de resolver los 16 problemas, el profesor le pagó $240. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el alumno?

Correctos 30x ; erróneos 10(x-16) ; Total recibido $240.

-> 30x+10(x-16) = 240

30x+10x-160 = 240

40x = 240+160

x = 400/40 = 10

Correctos 10, erróneos 16-10= 6.

Solución: correctos 10 y erróneos 6

Comprobación:

30x + 10(x-16) = 240

30(10) +10(10-16) = 240

300 +10(-6) = 240

300 -60 = 240

240 = 240.

_________________________________________

24 noviembre, 2021 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Problemas sobre ecuaciones de 1er. grado. Ejercicio 68.

Resolver los siguientes problemas:

1) Marcos ahorró $3,270. en monedas de $10., %5. y $2. Si el número de monedas de $10. excede en 20 a las de $5. y en 15 a las de $2. ¿ cuántas monedas de $5. tiene Marcos?

En monedas de $10. : 10x

En monedas de $5. : 5(x-20)

En monedas de $2. : 2(x-15)

Monto en las tres denominaciones $ 3,270.

-> 10x+5(x-20)+2(x-15)=3270

10x+5x-100+2x-30= 3270

17x = 3270+130

x = 3400/17 = 200 monedas.

-> 200 = 200 monedas de $10

. 200 -20 = 180 monedas de $5.

. 200 -15 = 185 monedas de $2.

Solución: Marcos tiene 180 monedas de $5.

Comprobando:

10(200)+5(180)+2(185) = 3270

2000+900+370 = 3270

3270 = 3270.

_________________________________________

2) Paulina tiene $9300. en billetes de $1000. , $500. y $200. Si el número de billetes de $500. excede en 2 a los de $1000. y en 3 a los de $200. ¿ cuántos billetes de cada denominación tiene Paulina?:

En billetes de $500 : 500x

En billetes de $1000. : 1000(x-2)

En billetes de $200. : 200(x-3)

Monto en todas las denominaciones : $9,300.

-> 500x+1000(x-2)+200(x-3) = 9300

500x+1000x-2000+200x-600 = 9300

1700x = 9300+2600

x = 11900/1700 = 7 billetes

En billetes de $500. : 7

En billetes de $1000. : 7-2 = 5

En billetes de $200. : 7-3 = 4

Solución : 7 en $500. , 5 en $1000. y 4 en $200.

Comprobación.

7(500)+5(1000)+4(200) = 9300

3500+5000+800 = 9300

9300 = 9300

_________________________________________

5) Se desea repartir $210. en monedas de $20. , $10. y $5. , de tal forma que el número de monedas de cada denominación sea el mismo. ¿Cuántas monedas se necesitan de cada denominación?

En monedas de $20. : 20x

En monedas de $10. : 10x

En monedas de $ 5 : 5x

-> 20x+10x+5x = 210

35x = 210

x = 210/35 = 6 monedas.

6 monedas de $20. = 6(20) = $120.

6 monedas de $10 = 6(10) = $ 60.

6 monedas de $5. = 6(5) = $ 30

Solución: 6 en $20. , 6 en $10. y 6 en $5.

Comprobando:

20(6)+10(6)+5(6) = 210

120+60+30 = 210

210 = 210

_______________________________________

6) Se desea tener $2,600. en billetes de $200., $100. y $50. de tal forma que el número de billetes de mayor denominación sea uno más que los de mediana denominación y dos más que los de menor denominación, ¿ cuántos billetes de cada denominación se tendrá?

En billetes de $200. : 200x

En billetes de $100. : 100(x-1)

En billetes de $50. : 50(x-2)

-> 200x+100(x-1)+50(x-2) = 2600

200x+100x-100+50x-100 = 2600

350x = 2600+200

x = 2800/350 = 8 billetes.

En billetes de $200 : 8

En billetes de $100 : 8-1 = 7

En billetes de $50. : 8-2 = 6

Solución 8 de $200. , 7 de $100. y 6 de $50.

Comprobación.

8(200)+7(100)+6(50) = 2600

1600+700+300 = 2600

2600 = 2600.

_______________________________________

10 septiembre, 2021 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Problemas de ecuaciones de primer grado. Edades.

Ejercicio 66.

Problemas:

1) La suma de las edades de Andrés, Carlos y Rodolfo es de 90 años. La edad de Andrés excede en 4 años a la edad de Carlos y en 11 a la de Rodolfo. Determina las edades de los tres.

Datos:

Edad de Andrés: x

Edad de Carlos: x-4

Edad de Rodolfo: x-11

Suma de las edades: 90 años.

Planteamiento: x +x-4+x-11 = 90

Entonces:

x+x-4+x-11 = 90

3x = 90 +15

x = 105/3

x = 35

Por lo tanto:

Edad de Andrés 35 años; edad de Carlos 35-4= 31 años; edad de Rodolfo 35-11= 24 años

Comprobación: 35+31+24= 90 años

_____________________________________________

2) La edad de Fabiana es la tercera parte de la edad de Hilda y la edad de Cecilia es el doble de la edad de Fabiana. Si la suma de sus edades es de 72 años, determina la edad de Cecilia.

Datos:

Edad de Fabiana: x/3

Edad de Hilda : x

Edad de Cecilia: 2(x/3)

Suma de las edades: 72 años

Planteamiento: x+x/3+2x/3 = 72

3x+x+2x = 3(72)

6x = 216

= x = 216/6 = 36

Por lo tanto; la edad de Hilda es 36 años.

Entonces:

La edad de Cecilia es 2(x/3) = 2(36/3) = 24 años.

______________________________________________

3) La edad de Tania excede en 6 a la de Luz, y la edad de María es la semisuma de las edades de tania y Luz. Si la suma de sus edades es 42, determina las edades de Tania, Luz y María.

Datos:

Edad de Luz: x

Edad de Tania: x-6

Edad de Maria: (x+x-6)/2

Suma de las edades: 42 años

Planteamiento: x +x-6 + (x+x-6/2) = 42

Entonces:

x +x-6 + (2x-6/2) = 42

x+x-6+x-3 = 42

3x-9= 42

x = (42+9)3

x = 17 años, edad de Luz

x-6 = 17-6 = 11 años, edad de Tania

(x+x-6)/2= x-3 = 17-3 = 14 años, Edad de María

Comprobando: 17+11+14 = 42 años.

_____________________________________________

4) Carlos tiene 18 años y Juan 42, ¿en cuántos años la edad de Juan será el doble de la de Carlos en ese entonces?

Datos:

Edad de Carlos: 18 años

Edad de Juan: 42 años

El doble de la edad de Carlos en x años: 2(18)+x

Planteamiento: 2(18)+x = 42

36+x = 42

x = 42-36

x = 6

Por lo tanto:

la edad de Juan será el doble de la edad de Carlos en 6 años.

______________________________________________

5) La edad de Carlos es el triple de la de Mauricio y dentro de 10 años será el doble. Determina las edades actuales de Carlos y Mauricio.

Datos:

Edad de Carlos: 3x

Edad de Mauricio: x

Edad de Carlos en 10 años: 3x+10

Edad de Mauricio en 10 años: x+10

Planteamiento: 3x+10 = 2(x+10)

3x+10 = 2x +20

3x-2x = 20-10

x = 10

Entonces:

Edad de Mauricio 10 años

Edad de Carlos: 3x = 3(10) = 30 años

______________________________________________

6) La edad actual de Bárbara es la mitad de la de Patricia. Si dentro de veiente años la edad de Patricia superará en 8 la de Bárbara, determina las edades actuales.

Datos:

Edad de Patricia: x

Edad de Bárbara: x/2

Dentro de 20 años:

Edad de Patricaia: x+20

Edad de Bárbará: x/2 +20

Planteamiento: x+20 = x/2 +20+8

2x+2(20) = x+2(20)+2(8)

2x+40 = x+40+16

2x-x = 40-40+16

x= 16

Entonces

La edad de Patricia es 16 años.

La edad de Bárbara es 16/2 = 8 años.

___________________________________________

1 julio, 202112 julio, 2021 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Problemas de ecuaciones de 1er. grado. Ejer. 65

Ejercicio 65.

Resuelve los siguientes problemas:

1) La suma de tres números enteros consecutivos es 312. Encuentra dichos números.

Datos: x , x+1 , x+2 , Suma 312.-> x+x+1+x+2=312
-> 3x+3 = 312 -> x=312-3 /3 -> x=309/3 -> x=103
Por lo tanto, si x=103 -> x+1=103+1=104 y x+2=103+2=105

Comprobando: 103+104+105=312.
_______________________________________________

2) La diferencia de dos números es 17 y la suma de ambos es 451. Determina los números.

Datos: 1er. número: x y 2º número: x-17-> x +x-17=451
2x -17 = 451 -> x = 451+17 /2 -> x = 468/2 -> x = 234
Por lo tanto si x = 234 -> x-17 = 234-17 = 217

Comprobando: 234 +217 = 451
______________________________________________

3) La suma de tres números enteros pares consecutivos es 276. Determina los números.

Datos: x , x+2 , x+4 , Suma 276
-> x +x+2 +x+4 = 276
-> 3x +6 = 276 -> x = 276-6 /3 -> 90
Por lo tanto si x = 90 -> x+2 = 90+2= 92, y x+4=90+4 = 94

Comprobando: 90 +92 +94 = 276
_____________________________________________

4) La suma de tres números enteros impares consecutivos es 45. Encuentra los números.

Datos: x, x+2, x+4 , Suma 45
-> x +x+2 +x+4 = 45
-> 3x+6 >=45 -> x = 45-6 /3 -> x = 13
Por lo tanto si x=13 -> x+2=13+2= 15 y x+3=13+4 = 17

Comprobando: 13 +15 +17 = 45
______________________________________
5) La diferencia de dos números es 36 y un medio del mayor excede en 2 al menor. determina los números.

Datos: x , x-36 y 1/2x +x-2
-> x +x-36 = 1/2x +x-2
-> x +x -1/2x -x = -2+36
-> 1/2x = 34 ->
x= 34/ 1/2 -> x = 68
Por lo tanto si x=68 -> x-36= 68-36 -> x = 32

Comprobando: 68 -32 = 36
_________________________________________

6) La diferencia de dos números es 42 y los dos quintos del mayaor equivalen al menor. ¿Cuáles son los números?

Datos: x , x-42 , 2/5x = x-42
-> 2/5x = x-42
-> 2/5x -x = 42 -> -3/5x = -42 -> x = -42/ 3/5 -> x = 210/3 = 70
Por lo tanto si x=70 -> x-42= 70-42 -> x=28

Comprobación: 70 -28 = 42
__________________________________________

7) Un número excede en 6 a otro y el doble del mayor equivale al triple del menor. Encuentra los números.

Datos: x , x-6 , 2x equivale a 3(x-6)
-> 2x = 3(x-6) -> 2x = 3x-18
-> 2x-3x = -18 -> -x = -18 -> x = 18
Por lo tanto si x=18 -> x-6 = 18-6 -> x=12

-> 2x = 3(x-6)-> 2(18) = 3(18-6) -> 36 = 36 Verificado.

Los números son 18 y 12.
__________________________________________

8) Un número excede en 4 a otro y la tercera parte del mayor equivale a la mitad del menor. Determina los números.

Datos: x , x-4 , x/3 equivale a x-4 /2.
-> x/3 = x-4 /2
-> x(2) = 3(x-4) -> 2x = 3x-12 -> 2x-3x = -12 -> -x = -12 -> x = 12
Por lo tanto si x=12 -> x-4 = 12-4 -> x=8

-> x/3 = x-4/2 => 12/3 = 12-4 /2 = 4 = 4 Verificado.

Los números son 12 y 8.
__________________________________________

9)El exceso de un número sobre 20 es igual a las tres cuartas partes del número. ¿Cuál es el número?

Datos: x/20 es igual a 3/4x
-> x/20 = 3/4x
-> x-3/4x = 20 -> 1/4x =20 -> x = 20/ 1/4 -> x =80

El número es 80.
___________________________________________

14) Un número es el doble del otro, si ambos se aumentan en 6, el triple del mayor equivale a cinco veces el menor. Encuentra los números.

Datos: x , 2x , x+6 , 2x+6 , -> 3(2x+6) equivale a 5(x+6)
-> 3(2x+6) = 5(x+6)
-> 6x+18 = 5x+30 -> 6x-5x = 30-18 -> x = 12
Por lo tanto si x=12 -> 2x =2(12) -> x =24

Los números son 24 y 12
_____________________________________

15) Un número es la tercera parte de otro, si ambos se aumentan en 10, el mayor será el doble del menor. Determina los números.

Datos: x , x/3 , x+10 , x/3 +10 , 2(x+10) equivale al x/3 +10
-> (x+10) = 2(x/3 +10)
-> x+10 = 2/3x +20 -> x-2/3x = 20-10 -> 1/3x =10
-> x = 10/ 1/3 -> x = 30
Por lo tanto si x=30 -> x/3=30/3 -> x=10

Los números son 30 y 10.
_____________________________________

16) La suma de tres números es 45, el mayor excede en 5 al mediano y en 10 al menor. Encuentra los números.

Datos: x , x-5 , x-10 , Suma 45
-> x+x-5+x-10 = 45
-> 3x-15 = 45 -> x = 45+15 /3 -> x = 20
Por lo tanto si x=20 -> x-5= 20-5 -> x=15 y x-10=20-10 -> x=10

Comprobando: 20+15+10 = 45.
_____________________________________

17) La suma de dos números es 60 y el mayor equivale cinco veces el menor aumentado en 30. Determina los números.

Datos: x , 5x+30 , Suma 60.
-> x+5x+30 = 60
-> 6x = 60-30 -> x = 30/6 -> x = 5
Por lo tanto si x=5 -> 5x+30 =5(5)+30 -> x=55

Comprobando: 5 + 55 = 60.
______________________________________

19) La diferencia de dos números es 8 y si se divide el doble del mayor más dos entre el menor, se obtiene como cociente 5. Encuentra los números.

Datos: x , x-8 , -> 2x+2 /x-8 , cociente 5
-> 2x+2 /x-8 = 5
-> 2x+2 = 5(x-8) -> 2x+2 = 5x-40 -> 2x-5x = -40-2
-> -3x = -42 -> x = -42/-3 -> x = 14.
Por lo tanto si x=14 entonces c-8= 14-8 -> x=6.

Comprobando 14-6 = 8.
______________________________________
.

20 marzo, 2016 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Ecuación Lineal.

Ecuación lineal es aquella de la forma Ax+By+C=0 ; donde «A», «B» y «C» son valores constantes y «x» y «y» son valores reales.

Solución de una Ecuación Lineal: Son todos los pares ordenados (x.y) que satisfacen la ecuación.

Procedimiento para encontrar las solución de una ecuación lineal:

1) Dada una ecuación lineal se sustituyen los valores que nos sean dados en los pares ordenados (x,y)

2) Sustituidos los valores (x,y) se procede a encontrar la solución de la ecuación:

2a) Se efectúan las operaciones indicadas.

2b) Se suprimen los signos de agrupación

2c) Se simplifica el resultado hasta llegar a la mínima expresión.

__________________________________________

Ejemplo:

Verifica si los pares (1,-4), (2, – 10/3) y (1/2, 3/4) son soluciones de

la ecuación 2x -3y -14 = 0

> Sustituyendo el par (1, -4) en la ecuación

2x -3y -14 = 0

2(1) -3(-4) -14 = 0

2 +12 -14 = 0

14-14 = 0

0 = 0 Si es solución.

> Sustituyendo el par (2, -10/3)

2x -3y -14 = 0

2(2) -3(-10/3) -14 = 0

4 +10 -14 = 0

14 -14 = 0

0 = 0 Si es solución.

> Sustituyendo el par (1/2 , 3/4)

2x -3y -14 = 0

2(1/2) -3(3/4) -14 = 0

1 – 9/4 -14 = 0

–43/4 ≠ 0 No es solución.

_________________________________________

Ejercicio 79 del Libro.

1) Verifica si (2, -3), (7, 0) y (1, 5) son solución de 3x -5y -21 = 0

> Sustituyendo (2 -3) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(2) -5(-3) -21 = 0

6 + 15 -21 = 0

21 -21 = 0

0 = 0 Si es Solución

> Sustituyendo (7, 0) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(7) -5(0) -21 = 0

21 -0 -21 = 0

21 -21 = 0

0 = 0 Si es Solución.

> Sustituyendo (1, 5) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(1) -5(5) -21 = 0

3 -25 -21 = 0

-43 ≠ 0 No es Solución.

________________________________________

2) Verifica sin los puntos (1/2, -3/4), (1/3, 1/4) y (-1/2, 1)

son solución de 2x +4y +2 = 0

> Sustituyendo (1/2, -3/4) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(1/2) +4(-3/4) +2 = 0

1 -3 +2 = 0

3 -3 = 0

0 = 0 Si es Solución.

> Sustituyendo (1/3, 1/4) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(1/3) +4(1/4) +2 = 0

2/3 +1 +2 = 0

11/3 ≠ 0 No es solución.

> Sustituyendo (-1/2, 1) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(-1/2) +4(1) +2 = 0

-1 +4 +2 = 0

5 ≠ 0 No es solución.

________________________________________

3) Verifica si los pares (3, -4), (-3, -12) y (1/2, 2)

son solución de 2/3 x = 1/2 y +4

> Ordenando la ecuacióna la forma Ax + By +C = 0:

2/3 x = 1/2 y +4 –> 2/3 x – 1/2 y – 4 = 0

> Sustituyendo (3, -4) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3(3) -1/2(-4) -4 = 0

2 + 2 -4 = 0

0 = 0 Si es solución.

> Sustituyendo (-3, -12) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3 (-3) -1/2(-12) -4 = 0

-2 + 6 -4 = 0

-6 +4 = 0

0 = 0 Si es Solución.

> Sustituyendo (1/2, 2) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3(1/2) -1/2(2) -4 = 0

1/3 – 1 -4 = 0

1/3 -5 = 0

-14/3 ≠ 0 No es Solución.

__________________________________________

9 marzo, 201614 marzo, 2016 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Primer Grado con Literales.

Procedimiento:

1) Si los términos contienen denominadores se eliminan por el método del m.c.d.

2) Se agrupan los términos que contengan la letra «x» en común.

3) Se factorizan los términos dejando la letra «x» como un factor.

4) Se despeja la ecuación y se simplifica si es posible, para encontrar la solución.

________________________________________

Ejemplos:

a) Encuentra el valor de «x» en 8abcx – ab = 8abx +1

> Agrupando los términos en «x»:

8abcx -8abx = 1 +ab

> Se factorizan los términos en «x»:

x(8abc -8ab) = 1 + ab

> Se despeja la ecuación:

x = a +ab /8abc -ab Solución.

Nota: No se puede simplificar la fracción porque no hay términos que estén como factores el numerador ni en el denominador.

_________________________________________

b) Determina el valor de «y» en a -m+n /y = b – m-n /y

> Se eliminan los denominadores, multiplicando toda la ecuación por el común denominador que es «y»:

y[a -m+n /y = b – m-n /y]

y(a) -y(m+n /y) = y(b) -y(m-n /y)

ay – (m+n) = by -(m-n)

ay -m -n = by -m +n

> Se agrupan los términos en «y»:

ay -by = -m +n +m +n

> Se factorizan los términos con «y» y se simplifica:

y(a-b) = 2n

> Se despeja la ecuación:

y = 2n /a-b Solución.

________________________________________

c) Resuelve la ecuación 1 + b/z = b/a + a/z; para «z».

> Multiplicando la ecuación por «z», para eliminador denominadores:

az[1 + b/z = b/a + a/z]

az + ab = bz + a^2

> Agrupando términos con «z»:

az -bz = a^2 -ab

> Factorizando ambos miembros y despejando «z»:

z(a-b) = a(a-b)

z = a(a-b) / (a-b)

> Simplificando:

z = a Solución.

_______________________________________

Ejercicio 64 del Libro.

Resuelve las siguientes ecuaciones para las incógnitas x, y ó z:

1) 2b(2a -x) = x(b-a) + a(x +b)

> Efectuando operaciones:

4ab -2bx = -ax +bx + ax +ab

> Agrupando en «x» y simplificando:

-2bx -bx +ax -ax = ab -4ab

-3bx = -3ab

> Despejando la x:

x = -3ab /-3b

x = a Solución.

_______________________________________

2) y^2 + a^2 = (a+y)^2 – a(a+1)

> Factorizando el término (a+y)^2:

y^2 +a^2 = a^2 +2ay +y^2 – a(a+1)

> Agrupando términos y simplificando:

y^2 -y^2 -2ay = a^2 -a^2 -a(a+1)

-2ay = -a(a+1)

y = -a(a+1) /-2a

y = a+1 /2 Solución.

________________________________________

3) a(x+b) -(x+a)^2 = -x^2

> Factorizando el término (x+a)^2:

a(x+b) -(x^2 +2ax +a^2) = -x^2

> Multiplicando y quitando paréntesis:

ax +ab -x^2 -2ax -a^2 = -x^2

> Agrupando términos semejantes y simplificando:

-x^2 +x^2 +ax -2ax +ab= a^2

-ax +ab = a^2

> Factorizando el primer miembro y simplificando:

-a(x-b) = a^2

x-b = a^2 /-a

x = a^2/-a +b

x = -a+b

x = b -a Solución.

______________________________________

4) a(b-y) -a(b-1) = a(ay-b)

> Efectuando multiplicaciones:

ab -ay -ab +a = a^2y -ab

> Agrupando términos semejantes:

-ay -a^2y = -ab -ab +ab -a

> Factorizando el 1º miembro y reduciendo términos en el 2º:

y(-a -a^2) = -ab -a

> Factorizando el 2º miembro de la ecuación:

y(-a -a^2) = -a(b+1)

> Despejando la «y» y simplificando:

y = -a(b+1) / -a -a^2

y = -a(b+1) /-a(1+a)

y = b+1 / a+1 Solución.

________________________________________

5 marzo, 201613 noviembre, 2016 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Primer Grado con Valor Absoluto.

Procedimiento:

1) Se forman dos ecuaciones de la original, basado en la definición |a| –> +(a) y -(a)

2) Se resuelven cada una de las ecuaciones por separado.

3) En la ecuación +(a) se elimina el paréntesis sin modificar el signo del término o términos que están dentro del paréntesis «a».

Y en la ecuación -(a), se eliminan los paréntesis cambiándole signo a el término o términos que está dentro del paréntesis: » -a».

3) El resultado de cada una de las ecuaciones serán las soluciones para la ecuación original.

_________________________________________

Ejemplos:

a) Resolver |6-3x| = 9

> Formando dos ecuaciones:

6-3x = 9 y -(6-3x) = 9

> Resolviendo cada ecuación

(6-3x) = 9

6-3x = 9

x = 9-6 /-3

x = -1 Primera Solución.

-(6-3x) = 9

-6+3x = 9

x = 9+6 /3

x = 5 Segunda Solución

∴ x = -1 y x = 5 Soluciones.

________________________________________

b) |3x-1| = 2x+5

> Formando dos ecuaciones:

3x-1 = 2x+5 y -(3x-1) = 2x+5

> Resolviendo cada ecuación por separado.

3x-1 = 2x+5

3x -2x = 5 +1

x = 6 Solución.

-(3x-1) = 2x+5

-3x +1 = 2x +5

-3x -2x = 5 -1

-5x = 4

x = 4/-5 = – 4/5 Solución.

∴ x = -4/5 y x = 6 Soluciones.

________________________________________

c) Determinar el conjunto solución de |x+3 /x| = 2

> Formando dos ecuaciones:

x+3 /x = 2 y -(x+3 /3) = 2

> Resolviendo cada ecuación:

x+3 /x = 2

x+3 = 2x

x-2x = -3

-x = -3

x = 3 Solución.

-(x+3 /x) = 2

-x-3 /x = 2

-x -3 = 2x

-x -2x = 3

-3x = 3

x = 3/-3 = – 1 Solución.

∴ x = -1 y x = 3 Soluciones.

_______________________________________

Ejercicio 63 del Libro.

Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

1) |x+1| = 8

> Formando dos ecuaciones:

(x+1) = 8 y -(x+1) = 8

> Resolviendo cada ecuación

x+1 = 8

x = 8-1

x = 7 Solución

-(x+1) = 8

-x -1 = 8

-x = 8 +1

-x = 9

x = -9 Solución.

∴ x = 7 y x = -9 Soluciones.

_______________________________________

2) |3-2y|= 5

> Formando dos ecuaciones:

(3-2y) = 5 y -(3-2y) = 5

> Resolviendo cada ecuación

3-2y = 5

-2y = 5-3

y = 2/-2 = -1 solución

-(3-2y) = 5

-3 +2y = 5

2y = 5 +3

y = 8/2 = 4 Solución

∴ x= -1 y x= 4 Soluciones.

_______________________________________

7) |x + 1/2| = 2

> Formando dos ecuaciones:

(x + 1/2) = 2 y -(x + 1/2) = 2

> Resolviendo cada ecuación:

x + 1/2 = 2

x = 2 – 1/2

x = 3/2 Solución.

-(x + 1/2) = 2

-x -1/2 = 2

-x = 2 + 1/2

-x = 3/2

x = -5/2 Solución

∴ x= 3/2 y x= – 5/2 Soluciones.

________________________________________

11) |x+2 /5| = 1/15

> Formando dos ecuaciones:

(x+2 /5) = 1/15 y -(x+2 /5) = 1/15

> Resolviendo cada ecuación:

(x+2 /5) = 1/15

x+2 = (1/15)(5)

x = 1/3 -2

x = – 5/3 Solución.

-(x+2 /5) = 1/15

x+2 /5 = -(1/15)

x+2 = -(1/15)(5)

x = – 1/3 -2

x = – 7/3 Solución.

∴ x= -5/3, x= -7/3 Soluciones.

______________________________________

12) |x/3 -1| = x/6 +2

> Formando dos ecuaciones:

(x/3 -1) = x/6 +2 y -(x/3 -1) = x/6 +2

> Resolviendo cada ecuación:

(x/3 -1) = x/6 +2

x/3 -x/6 = 2 +1

2x -x = 12+6

x = 18 Solución

-(x/3 -1) = x/6 +2

x/3 -1 = -(x/6 +2)

x/3 -1 = -x/6 -2

x/3 +x/6 = -2 +1

2x +x = -12 +6

3x = -6

x = -6/3

x = -2 Solución.

∴ x= 18, x= -2 Soluciones.

_________________________________________

19 febrero, 2016 jorgeacmonge Ecuaciones de Primer Grado

Ecuaciones de Primer Grado Fraccionarias.

Procedimiento:

1) Se efectúan productos indicados, si los hubiera.

2) Se efectúan factorizaciones si las hubiera.

3) Se eliminan los denominadores multiplicando por el mcm de los denominadores de todas las fracciones.

4) Se simplifican los términos enteros hasta llegar a la solución.

________________________________________

Ejemplos:

a) Encuentra el valor de x en x/6 +5 = 1/3 -x

> Eliminando denominadores:

El mcm de 6 y 3 es 6

6(x/6 +5) = 6(1/3 -x)

6x/6 +30 = 6/3 -6x

x +30 = 2-6x

> Simplificando:

x +6x = 2 -30

7x = -28

x = -28/7

x = -4 Solución.

________________________________________

b) Resuelve 1/3z (2 -z/2) – 2/3 + 1/4z (10 -5z/3) = 1/z (5 +z/4)

> Efectuando los productos indicados:

2/3z – z/6z -2/3 + 10/4z -5z/12z = 5/z +z/4z

2/3z – 1/6 -2/3 + 5/2z -5/12 = 5/z + 1/4

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3z, 6, 3, 2z, 12, z, 4 es 12z

12z(2/3z) – 12z(1/6) – 12z(2/3) + 12z(5/2z) – 12z(5/12) = 12z(5/z) + 12z(1/4)

24z/3z – 12z/6 – 24z/3 + 60z/2z -60z/12 = 60z/z + 12z/4

8 – 2z -8z+ 30 – 5z = 60 + 3z

> Simplificando:

-2z -8z -5z -3z = 60 -8 -30

-18z = 22

z = 22/-18

z = – 11/9 Solución.

_______________________________________

Ejercicio 62 del Libro.

Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado:

1) 1/2x +4/3x = 33

> Eliminando denominadores:

El mcm de 2x, 3x es 6

–> 6(1/2x) +6(4/3x) = 6(33)

6/2x + 24/3x = 198

3x + 8x = 198

> Simplificando:

11x = 198

x = 198/11

x = 18 solución.

_________________________________________

2) 5/2 x -5/6 x = 4/3

> Eliminando denominadores:

El mcm de 2, 6 y 3 es 6

–> 6(5/2 x) – 6(5/6 x) = 6(4/3)

30/2 x – 30/6 x = 24/3

15x -5x = 8

> Simplificando:

10x = 8

x = 8/10 = 4/5 Solución.

_______________________________________

7) 5x/6 -7/4+2x/3 = 2x -5/12 +x/3

> Eliminando denominadores:

El mcm de 6, 4, 3, 12 es 12

–> 12(5x/6 -7/4 + 2x/3 = 2x – 5/12 + x/3)

60x/6 – 84/4 + 24x/3 = 24x – 60/12 + 12x/3

10x – 21 + 8x = 24x – 5 + 4x

> Simplificando:

10x +8x -24x -4x = -5 +21

-10x = 16

x = 16/-10

x = -8/5 Solución.

_______________________________________

8) 5x-9 /3 + x/2 = 10

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3 y 2 es 6

–> 6(5x-9 /3) + 6(x/2) = 6(10)

30x/3 -54/3 + 6x/2 = 60

10x – 18 + 3x = 60

> Simplificando:

10x +3x = 60 +18

13x = 78

x = 78/13 = 6 Solución.

_______________________________________

24) 7y-1/3 – 5-2y/2y – 4y-3/4 = 1 + 4y^2/3y

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3, 2y, 4, 3y es 12y

–> 12y(7y -1 /3) – 12y(5 – 2y /2y) – 12y(4y – 3 /4) = 12y(1 + 4y^2 /3y)

84y^2/3 – 12y/3 – 60y/2y + 24y^2/2y – 48y^2/4 +36y/4 = 12y/3y + 48y^3/3y

28y^2 – 4y – 3o + 12y – 12y^2 + 9y = 4 + 16y^2

> Simplificando:

28y^2 -12y^2 -16y^2 -4y +12y +9y = 4 +30

17y = 34

y = 34/17 = 2 Solución.

_______________________________________

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto:

Comparte esto: