Ecuación Lineal.


Ecuación lineal es aquella de la forma Ax+By+C=0 ; donde “A”, “B” y “C” son valores constantes y  “x”  y “y” son valores reales.

Solución de una Ecuación Lineal: Son todos los pares ordenados (x.y) que satisfacen la ecuación.

Procedimiento para encontrar las solución de una ecuación lineal:

1) Dada una ecuación lineal se sustituyen los valores que nos sean dados en los pares ordenados (x,y)

2) Sustituidos los valores (x,y) se procede a encontrar la solución de la ecuación:

2a) Se efectúan las operaciones indicadas.

2b) Se suprimen los signos de agrupación

2c) Se simplifica el resultado hasta llegar a la mínima expresión.

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Ejemplo:

Verifica si los pares (1,-4), (2, – 10/3) y (1/2, 3/4) son soluciones de

la ecuación 2x -3y -14 = 0

> Sustituyendo el par (1, -4) en la ecuación

2x -3y -14 = 0

2(1) -3(-4) -14 = 0

2 +12 -14 = 0

14-14 = 0

0 = 0  Si es solución.

> Sustituyendo el par (2, -10/3)

2x -3y -14 = 0

2(2) -3(-10/3) -14 = 0

4 +10 -14 = 0

14 -14 = 0

0 = 0   Si es solución.

> Sustituyendo el par (1/2 , 3/4)

2x -3y -14 = 0

2(1/2) -3(3/4) -14 = 0

1 – 9/4 -14 = 0

43/4 ≠ 0   No es solución.

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Ejercicio 79 del Libro.

1) Verifica si (2, -3), (7, 0) y (1, 5) son solución de 3x -5y -21 = 0

> Sustituyendo (2 -3) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(2) -5(-3) -21 = 0

6 + 15 -21 = 0

21 -21 = 0

0 = 0   Si es Solución

> Sustituyendo (7, 0) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(7) -5(0) -21 = 0

21 -0 -21 = 0

21 -21 = 0

0 = 0   Si es Solución.

> Sustituyendo (1, 5) en la ecuación:

3x -5y -21 = 0

3(1) -5(5) -21 = 0

3 -25 -21 = 0

-43 ≠ 0   No es Solución.

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2) Verifica sin los puntos (1/2, -3/4), (1/3, 1/4) y (-1/2, 1)

son solución de 2x +4y +2 = 0

> Sustituyendo (1/2, -3/4) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(1/2) +4(-3/4) +2 = 0

1 -3 +2 = 0

3 -3 = 0

0 = 0   Si es Solución.

> Sustituyendo (1/3, 1/4) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(1/3) +4(1/4) +2 = 0

2/3 +1 +2 = 0

11/3 ≠ 0   No es solución.

> Sustituyendo (-1/2, 1) en la ecuación:

2x +4y +2 = 0

2(-1/2) +4(1) +2 = 0

-1 +4 +2 = 0

5 ≠ 0  No es solución.

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3) Verifica si los pares (3, -4), (-3, -12) y (1/2, 2)

son solución de 2/3 x = 1/2 y +4

> Ordenando la ecuacióna la forma Ax + By +C = 0:

2/3 x = 1/2 y +4   –> 2/3 x – 1/2 y – 4 = 0

Sustituyendo (3, -4) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3(3) -1/2(-4) -4 = 0

2 + 2 -4 = 0

0 = 0   Si es solución.

> Sustituyendo (-3, -12) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3 (-3) -1/2(-12) -4 = 0

-2 + 6 -4 = 0

-6 +4 = 0

0 = 0   Si es Solución.

> Sustituyendo (1/2, 2) en la ecuación:

2/3 x -1/2 y -4 = 0

2/3(1/2) -1/2(2) -4 = 0

1/3 – 1 -4 = 0

1/3 -5 = 0

-14/3 ≠ 0   No es Solución.

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Ecuaciones de Primer Grado con Literales.


 

Procedimiento:

1) Si los términos contienen denominadores se eliminan por el método del m.c.d.

2) Se agrupan los términos que contengan la letra “x” en común.

3) Se factorizan los términos dejando la  letra “x” como un factor.

4) Se despeja la ecuación y se simplifica si es posible, para encontrar la solución.

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Ejemplos:

a) Encuentra el valor de “x” en   8abcx – ab = 8abx +1

> Agrupando los términos en “x”:

8abcx -8abx = 1 +ab

> Se factorizan los términos en “x”:

x(8abc -8ab) = 1 + ab

> Se despeja la ecuación:

x = a +ab /8abc -ab    Solución.

Nota: No se puede simplificar la fracción porque no hay términos que estén como factores el numerador ni en el denominador.

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b) Determina el valor de “y” en    a -m+n /y = b – m-n /y

> Se eliminan los denominadores, multiplicando toda la ecuación por el común denominador que es “y”:

y[a -m+n /y = b – m-n /y]

y(a) -y(m+n /y) = y(b) -y(m-n /y)

ay – (m+n) = by -(m-n)

ay -m -n = by -m +n

> Se agrupan los términos en “y”:

ay -by = -m +n +m +n

> Se factorizan los términos con “y” y se simplifica:

y(a-b) = 2n

> Se despeja la ecuación:

y = 2n /a-b   Solución.

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c) Resuelve la ecuación  1 + b/z = b/a + a/z; para “z”.

> Multiplicando la ecuación por “z”, para eliminador denominadores:

az[1 + b/z = b/a + a/z]

az + ab = bz + a^2

> Agrupando términos con “z”:

az -bz = a^2 -ab

> Factorizando ambos miembros y despejando “z”:

z(a-b) = a(a-b)

z = a(a-b) / (a-b)

> Simplificando:

z = a   Solución.

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Ejercicio 64 del Libro.

Resuelve las siguientes ecuaciones para las incógnitas x, y ó z:

1) 2b(2a -x) = x(b-a) + a(x +b)

> Efectuando operaciones:

4ab -2bx = -ax +bx + ax +ab

> Agrupando en “x” y simplificando:

-2bx -bx +ax -ax = ab -4ab

-3bx = -3ab

> Despejando la x:

x = -3ab /-3b

x = a    Solución.

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2) y^2 + a^2 = (a+y)^2 – a(a+1)

> Factorizando el término (a+y)^2:

y^2 +a^2 = a^2 +2ay +y^2 – a(a+1)

> Agrupando términos y simplificando:

y^2 -y^2 -2ay = a^2 -a^2 -a(a+1)

-2ay = -a(a+1)

y = -a(a+1) /-2a

y = a+1 /2    Solución.

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3)  a(x+b) -(x+a)^2 = -x^2

> Factorizando el término (x+a)^2:

a(x+b) -(x^2 +2ax +a^2) = -x^2

> Multiplicando y quitando paréntesis:

ax +ab -x^2 -2ax -a^2 = -x^2

> Agrupando términos semejantes y simplificando:

-x^2 +x^2 +ax -2ax +ab= a^2

-ax +ab = a^2

> Factorizando el primer miembro y simplificando:

-a(x-b) = a^2

x-b = a^2 /-a

x = a^2/-a +b

x = -a+b

x = b -a     Solución.

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 4)  a(b-y) -a(b-1) = a(ay-b)

> Efectuando multiplicaciones:

ab -ay -ab +a = a^2y -ab

> Agrupando términos semejantes:

-ay -a^2y = -ab -ab +ab -a

> Factorizando el 1º miembro y reduciendo términos en el 2º:

y(-a -a^2) = -ab -a

> Factorizando el 2º miembro de la ecuación:

y(-a -a^2) = -a(b+1)

> Despejando la “y” y simplificando:

y = -a(b+1) / -a -a^2

y = -a(b+1) /-a(1+a)

y = b+1 / a+1   Solución.

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Ecuaciones de Primer Grado con Valor Absoluto.


Procedimiento:

1) Se forman dos ecuaciones de la original, basado en la definición |a| –> +(a) y -(a)

2) Se resuelven cada una de las ecuaciones por separado.

3) En la ecuación +(a) se elimina el paréntesis sin modificar el signo del término o términos que están dentro del paréntesis “a”.

Y en la ecuación -(a), se eliminan los paréntesis cambiándole signo a el término o términos que está dentro del paréntesis: ” -a”.

3) El resultado de cada una de las ecuaciones serán las soluciones para la ecuación original.

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Ejemplos:

a) Resolver  |6-3x| = 9

> Formando dos ecuaciones:

6-3x = 9     y    -(6-3x) = 9

> Resolviendo cada ecuación

(6-3x) = 9

6-3x = 9

x = 9-6 /-3

x = -1  Primera Solución.

-(6-3x) = 9

-6+3x = 9

x = 9+6 /3

x = 5  Segunda Solución

∴  x = -1    y    x = 5   Soluciones.

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b) |3x-1| = 2x+5

> Formando dos ecuaciones:

3x-1 = 2x+5     y  -(3x-1) = 2x+5

> Resolviendo cada ecuación por separado.

3x-1 = 2x+5

3x -2x = 5 +1

x = 6   Solución.

-(3x-1) = 2x+5

-3x +1 = 2x +5

-3x -2x = 5 -1

-5x = 4

x = 4/-5  =  – 4/5   Solución.

∴  x = -4/5    y    x = 6 Soluciones.

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c) Determinar el conjunto solución de  |x+3 /x| = 2

> Formando dos ecuaciones:

x+3 /x = 2    y   -(x+3 /3) = 2

> Resolviendo cada ecuación:

x+3 /x = 2

x+3 = 2x

x-2x = -3

-x = -3

x = 3    Solución.

-(x+3 /x) = 2

-x-3 /x = 2

-x -3 = 2x

-x -2x = 3

-3x = 3

x = 3/-3 = – 1  Solución.

x = -1    y   x = 3  Soluciones.

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Ejercicio 63 del Libro.

Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

1) |x+1| = 8

> Formando dos ecuaciones:

(x+1) = 8   y   -(x+1) = 8

> Resolviendo cada ecuación

x+1 = 8

x = 8-1

x = 7   Solución

-(x+1) = 8

-x -1 = 8

-x = 8 +1

-x = 9

x = -9   Solución.

∴  x = 7   y   x = -9   Soluciones.

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2) |3-2y|= 5

> Formando dos ecuaciones:

(3-2y) = 5    y   -(3-2y) = 5

> Resolviendo cada ecuación

3-2y = 5

-2y = 5-3

y = 2/-2 = -1   solución

-(3-2y) = 5

-3 +2y = 5

2y = 5 +3

y = 8/2 = 4   Solución

∴  x= -1    y   x= 4   Soluciones.

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7) |x + 1/2| = 2

> Formando dos ecuaciones:

(x + 1/2) = 2    y  -(x + 1/2) = 2

> Resolviendo cada ecuación:

x + 1/2 = 2

x = 2 – 1/2

x = 3/2   Solución.

-(x + 1/2) = 2

-x -1/2 = 2

-x = 2 + 1/2

-x = 3/2

x = -5/2    Solución

∴ x= 3/2    y   x= – 5/2   Soluciones.

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11) |x+2 /5| = 1/15

> Formando dos ecuaciones:

(x+2 /5) = 1/15      y      -(x+2 /5) = 1/15

> Resolviendo cada ecuación:

(x+2 /5) = 1/15

x+2 = (1/15)(5)

x = 1/3 -2

x = – 5/3    Solución.

-(x+2 /5) = 1/15

x+2 /5 = -(1/15)

x+2 = -(1/15)(5)

x = – 1/3 -2

x = – 7/3   Solución.

∴  x= -5/3,    x= -7/3   Soluciones.

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12)  |x/3 -1| = x/6 +2

> Formando dos ecuaciones:

(x/3 -1) = x/6 +2      y     -(x/3 -1) = x/6 +2

> Resolviendo cada ecuación:

(x/3 -1) = x/6 +2

x/3 -x/6 = 2 +1

2x -x = 12+6

x = 18   Solución

-(x/3 -1) = x/6 +2

x/3 -1 = -(x/6 +2)

x/3 -1 = -x/6 -2

x/3 +x/6 = -2 +1

2x +x = -12 +6

3x = -6

x = -6/3

x = -2    Solución.

∴  x= 18,   x= -2   Soluciones.

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Ecuaciones de Primer Grado Fraccionarias.


Procedimiento:

1) Se efectúan productos indicados, si los hubiera.

2) Se efectúan factorizaciones si las hubiera.

3) Se eliminan los denominadores multiplicando por el mcm de los denominadores de  todas las fracciones.

4) Se simplifican los términos enteros hasta llegar a la solución.

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Ejemplos:

a) Encuentra el valor de x en   x/6 +5 = 1/3 -x

> Eliminando denominadores:

El mcm de 6 y 3  es  6

6(x/6 +5) = 6(1/3 -x)

6x/6 +30 = 6/3 -6x

x +30 = 2-6x

> Simplificando:

x +6x = 2 -30

7x = -28

x = -28/7

x = -4   Solución.

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b) Resuelve  1/3z (2 -z/2) – 2/3 + 1/4z (10 -5z/3) = 1/z (5 +z/4)

> Efectuando los productos indicados:

2/3z – z/6z -2/3 + 10/4z -5z/12z = 5/z +z/4z

2/3z – 1/6 -2/3 + 5/2z -5/12 = 5/z + 1/4

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3z, 6, 3, 2z, 12, z, 4  es  12z

12z(2/3z) – 12z(1/6) – 12z(2/3) + 12z(5/2z) – 12z(5/12) = 12z(5/z) + 12z(1/4)

24z/3z – 12z/6 – 24z/3 + 60z/2z -60z/12 = 60z/z + 12z/4

8 – 2z -8z+ 30 – 5z = 60 + 3z

> Simplificando:

-2z -8z -5z -3z = 60 -8 -30

-18z = 22

z = 22/-18

z = – 11/9   Solución.

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Ejercicio 62 del Libro.

Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado:

1)  1/2x +4/3x = 33

> Eliminando denominadores:

El mcm de 2x, 3x es   6

–> 6(1/2x) +6(4/3x) = 6(33)

6/2x + 24/3x = 198

3x + 8x = 198

> Simplificando:

11x = 198

x = 198/11

x = 18   solución.

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2) 5/2 x -5/6 x = 4/3

> Eliminando denominadores:

El mcm de 2, 6 y 3 es  6

–> 6(5/2 x) – 6(5/6 x) = 6(4/3)

30/2 x – 30/6 x = 24/3

15x -5x = 8

> Simplificando:

10x = 8

x = 8/10 = 4/5   Solución.

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7) 5x/6 -7/4+2x/3 = 2x -5/12 +x/3

> Eliminando denominadores:

El mcm de 6, 4, 3, 12   es  12

–> 12(5x/6 -7/4 + 2x/3 = 2x – 5/12 + x/3)

60x/6 – 84/4 + 24x/3 = 24x – 60/12 + 12x/3

10x – 21 + 8x  = 24x – 5 + 4x

> Simplificando:

10x +8x -24x -4x = -5 +21

-10x = 16

x = 16/-10

x = -8/5   Solución.

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8) 5x-9 /3 + x/2 = 10

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3 y 2 es   6

–> 6(5x-9 /3) + 6(x/2) = 6(10)

30x/3 -54/3 + 6x/2 = 60

10x – 18 + 3x = 60

> Simplificando:

10x +3x = 60 +18

13x = 78

x = 78/13 =  6   Solución.

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24) 7y-1/3 – 5-2y/2y – 4y-3/4 = 1 + 4y^2/3y

> Eliminando denominadores:

El mcm de 3, 2y, 4, 3y es  12y

–> 12y(7y -1 /3) – 12y(5 – 2y /2y) – 12y(4y – 3 /4) = 12y(1 + 4y^2 /3y)

84y^2/3 – 12y/3 – 60y/2y + 24y^2/2y – 48y^2/4 +36y/4 = 12y/3y + 48y^3/3y

28y^2 – 4y – 3o + 12y – 12y^2 + 9y = 4 + 16y^2

> Simplificando:

28y^2 -12y^2 -16y^2 -4y +12y +9y = 4 +30

17y = 34

y = 34/17 = 2   Solución.

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Ecuaciones de Primer Grado con signos de agrupación y productos indicados.


Procedimiento:

1) Se suprimen los signos de agrupación.

2) Se realizan los productos indicados.

3) Obtenida una ecuación equivalente, se procede a simplificar, para obtener la solución.

Recuerda: Para suprimir signos de agrupación debes tomar en cuenta:

  • Si el signo que antecede al signo de agrupación, es positivo; se sacan los términos de la agrupación con su mismo signo.
  • Si el signo que antecede al signo de agrupación, es negativo; se sacan los términos de la agrupación con signo cambiado.

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Ejemplos:

a) Resuelve  8x -(6x-9) + (3x-2) = 4 – (7x-8)

 

> Eliminando o suprimiendo los signos de agrupación:

8x -6x +9 +3x -2 = 4 -7x +8

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

8x -6x +3x +7x = 4 +8 -9 +2

12x = 5

x = 5/12    Solución.

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b) Encuentra el valor de la incógnita de 7(18-x)-6(3-5x) = -(7x+9)-3(2x+5)-12

> Realizando operaciones:

(118x -7x) -(18-30x) = -(7x+9) -(6x-15) -12

> Suprimiendo signos de agrupación:

118x-7x -18 +30x = -7x -9 -6x+14 -12

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

118x -7x +30x +7x +6x = -9 -12 +14 +18

183x = 9

x = 183/9 = 61/3   Solución

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Ejercicio 61 del Libro.

Determina el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones:

1)  x – (2x+1) = 8 – (3x+3)

> Suprimiendo signos de agrupación:

x -2x -1 = 8 -3x -3

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

x -2x +3x = 8 -3 +1

2x = 6

x = 6/2 = 3   Solución.

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2) 15x -20 = 6x – (x+2) + (-x+3)

> Suprimiendo los signos de agrupación:

15x -20 = 6x -x -2 -x +3

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

15x -6x +x +x = -2 +3 +20

11x = 21

x = 21/11   Solución.

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4) 4(x-2) – 5(2x-6) = 8(x+1) -3(2x+3)

> Resolviendo productos indicados:

(4x-8) – (10x-30) = (8x+8) – (6x+9)

> Suprimiendo signos de agrupación:

4x -8 -10x +30 = 8x +8 -6x -9

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

4x -10x -8x +6x = 8 -9 +8 -30

-8x = -23

x = -23/-8 = 23/8   Solución.

________________________________________

5)  7(3x+1) + 8(2x-3) = 4(3x-1) – 7(x-4)

> Efectuando los productos indicados:

(21x+7) + (16x-24) = (12x-4) – (7x-28)

> Suprimiendo signos de agrupación:

21x +7 +16x -24 = 12x -4 -7x +28

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

21x +16x -12x +7x = -4 +28 -7 +24

32x = 41

x = 41/32   Solución.

__________________________________________

9)  -2(y-1) + {-4(y-1) – 5[y – 2(4-y) + 3y] – (y+1)} = 2y – (-5-y)

> Efectuando los productos indicados:

(-2y+2) + {(-4y+4) – 5[y – (8-2y) + 3y] – (y+1)} = 2y – (-5-y)

> Suprimiendo paréntesis:

-2y +2 + {-4y +4 – 5[y -8 +2y + 3y] -y -1 }= 2y +5 +y

> Efectuando el producto de 5 por lo que está entre corchetes:

-2y +2 + {-4y +4 -5y +40 -1oy -15y -y -1} = 2y +5 +y

> Suprimiendo las llaves:

-2y +2 -4y +4 -5y +40 -1oy -15y -y -1 = 2y +5 +y

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

-2y -4y -5y -10y -15y -y -2y -y = 5 -2 -4 -40 +1

-40y = -40

y = -40/-40 = 1  Solución.

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10)  w – 2[w + 5(1-2w) + 4w] – (w+3) = -w + 3(w+2) + 7w

> Efectuando productos indicados:

w – 2[w +5-10w + 4w] – (w+3) = -w + 3w +6 + 7w

> Efectuando producto de -2 por lo que está entre corchetes y suprimiendo los paréntesis:

w -2w -10 +20w -8w -w -3 = -w +3w +6+7w

> Reduciendo términos semejantes y simplificando:

w -2w +20w -8w -w +w -3w -7w = 6 +10 +3

1w = 19

w = 19/1 = 19   Solución.

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Ecuaciones de primer grado con una incógnita.


Son aquellas que se resuelven aplicando ecuaciones equivalentes a ambos miembros de la ecuación , hasta obtener el valor de la incógnita. Usando para ello operaciones como la suma, resta, multiplicación y división.

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Procedimiento:

1) Se trasladan o trasponen las incógnitas en el primer miembro de la ecuación y las constantes en el segundo.

2) Se efectúan las operaciones  y se simplifica para llegar a la solución.

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Ejemplos:

a) Encuentra el valor de x en   2x+3 = 7

Agrupando términos que contenga la variable en el primer miembro y las constantes en el segundo:

= 2x = 7-3

= 2x = 4

= x = 4/2

= x = 2   Solución

Nota: Recuerda que los valores que se trasladan a otro miembro; cambian a la operación opuesta a la que están haciendo originalmente.

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b) Encuentra el valor de la incógnita en  m-25 = 3m-5

> Trasladando incógnitas y constantes:

m -3m = -5 +25

> Efectuando operaciones y simplificando:

-2m = 25

m = 20/-2

m = -10  Solución.

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c) ¿Cuál es el conjunto solución de  20x -14 -11x = 8 -6x +2?

> Trasponiendo incógnitas y constantes:

20x -11x +6x = 8 +2 +14

> Efectuando operaciones y simplificando:

15x = 24

x = 24/15

x = 8/5   Solución.

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Ejercicio 60 del Libro.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) x +2 = 5

> Trasladando incógnitas y constantes:

= x = 5 -2

> Realizando operaciones y simplificando:

x = 3    Solución.

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2) y -4 = 6

> Trasladando incógnitas y constantes:

y = 6 +4

> Realizando operaciones:

y = 10  Solución.

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5)  2x -3 = 5

> Trasladando incógnitas y constantes:

2x = 5 +3

> Realizando operaciones y simplificando:

x = 8/2

x = 4   Solución.

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6) 3y +2 = 11

> Trasladando incógnitas y constantes:

3y = 11-2

> Realizando operaciones y simplificando:

y = 9/3

y = 3   Solución.

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8) 5x +7 = 3

> Trasladando incógnitas y constantes:

5x = 3-7

> Realizando operaciones y simplificando:

x = – 4/5   Solución.

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12)  12 +7x = 2x +22

> Trasladando incógnitas y constantes:

7x -2x = 22 -12

> Realizando operaciones y simplificando:

5x = 10

x = 10/5

x = 2   Solución.

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23) -12x -8 -3x +10 = 2x -9 +6x

> Trasladando incógnitas y constantes:

-12x -3x -2x -6x = -9 +8 -10

> Realizando operaciones y simplificando:

-23x = -11

x = -11/-23

x = 11/23   Solución.

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